对称性、奇偶性和周期性的综合运用.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 7 函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 （一）函数 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 图象关于直线对称. 推论1： 的图象关于直线对称. 推论2： 的图象关于直线对称. 推论3： 的图象关于直线对称. 求对称轴方法： 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 的图象关于点对称. 推论： 的图象关于点对称. 推论： 的图象关于点对称. 推论： 的图象关于点对称. 求对称中心方法： 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值. （二）两个函数的图象相互对称 1、函数与函数图象关于直线对称； 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称； 函数与函数图象关于y轴对称； 求对称轴方法：令a+x=b-x,得 . 2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d关于点中心对称； 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称. 函数与函数图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 ，纵坐标y= 二． 函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称． 推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点（a，0）中心对称. 三．函数的周期性 1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. 2. 推论： ①( ) 的周期为T. ② 的周期为 ③ 的周期为 ④ 的周期为 ⑤ 的周期为 ⑥ 的周期为 ⑦ 的周期为 ⑧ 的周期为 ⑨ 的周期为 ⑩若 = 11 \* GB2 ⑾若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 推论：偶函数满足 周期 = 12 \* GB2 ⑿若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. 推论：奇函数满足周期 = 13 \* GB2 ⒀有一条对称轴和一个对称中心的周期T＝4|a－b|. 小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x”； ②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”； ③定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在. 题型分类 1. 求函数值 例1. 设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5） （A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例2.偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f()的值等于(　 　) A．－1 B. C. D．1 解：由于偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则对于，f()=f(2+)=f(2- )=3＋=1故可知答案为D. 2．比较函数值大小 例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小. 解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且， 3、求函数解析式 例4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，求当时求f(x)的解析式. 例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式. 解：当，即， 又是以2为周期的周期函数，于是当，即时， 4、判断（证明）函数性质 例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立， 判断函数的奇偶性. 解：由的周期为4，得，由得 ，故为偶函数. 例