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2014年北大数学金秋营

2014年北大数学金秋营三角形满足：是外接圆半径，是钝角. 与三角形外接圆圆心的连线交于点. 三角形的内切圆半径为1，求三角形的内切圆半径. 证明：是正整数，则不是完全平方数. 是实数，已知 . 求证：. 令. 求所有的正整数，使得是素数. 对正整数，称数组为的一个（无序的）分拆，如果，，称每个为分拆的项. 记为项全为奇数的的分拆的集合，为项两两不等的的分拆的集合. 试在与之间建立一个双射. 是一个大于100的整数，是所有在10进制下数码和为的倍数的正整数的集合，是将中的数从小到大排列的第个数. 求证：存在无穷个，使. 答案引理：的内切圆半径与外接圆半径的比 . ; . . 由已知条件，. ， . . ，猜＝1. ，结论成立. 另证：先证由（1），结论成立. 证：，，分7种情况讨论，不定方程的正整数解的问题. 证：＝ . 结论成立. 证：当为奇数时，有，显然不成立；当为偶数时，. ，，上述两式都能被整除，命题成立. 另证：当为奇数时，有，显然不成立；当为偶数时，. 任取的一个素因子，有，由为偶数，故，所以有，即有，显然，结论成立. 证，令写出二进制表示，类似地处理其他的. 新的n的分拆就是 . 我们需要验证在里面以及确实是双射，二者都很容易验证：若，则由和都是奇数有，从而=。因此属于. 反之，若是各项互异的分拆，可通过合并2的最高幂次相同的所有，再把奇数写上正确的重数，就逆回去了. 例：被映射到写为得到分拆只有奇数项.