13.4课题学习-最短路径问题（二）.docVIP

无为县第三中学电子备课教学设计 无为县第三中学电子备课教学设计 PAGE PAGE 3 教学内容 13.4课题学习 最短路径问题2造桥选址问题 教学目标 知识与技能：能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感、态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 教学重点 利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题 教学难点 如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段和最小问题. 教学准备 课时安排 1课时 第一课时 课时目标 解决造桥选址问题 教学过程 创设情景,引入课题 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“造桥选址问题”. 问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1　你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B 吗? 追问2 如上图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的差最小? 如图2：小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 练习　如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处, 请画出旅游船的最短路径. 基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”. 探究1　造桥选址问题 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥． 解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽． (2)连接BC与河岸的一边交于点N. (3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M. 则MN为所建的桥的位置． 探究2无为三中八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 探究3 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大． 　 分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决． 解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB. 点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法． 反思小结 (1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法? 你还有哪些收获? 安全提示 放学了，请同学们注意交通安全 练习设计 如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直) 板书设计 13.4课题学习 最短路径问题2造桥选址问题 创设情景 引入课题 探究1　造桥选址问题 探究2 探究3 反思小结