§19有理系数多项式-(精品课件).pptVIP

* 第一章 多项式 * * * §1.8 有理系数多项式 本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于 与 在 上的可约性相同。因此讨论 在Q上的可约 性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 的系数互素，则称 是一个本原多项式。 例如： 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。 是本原多项式。 引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 证： 设 都是本原多项式 若 不是本原多项式，则存在素数p，使 由于 都是本原多 项式，故 的系数不能都被p整除， 的系数 也不能被p整除， 可设 但 但 现考虑 除了 这一项外，p能整除其余各项， 因此 这是一个矛盾， 故 是本原多项式。 定理1.9.1： 一个整系数n（n0）次多项式 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。 证：充分性显然。 下证必要性。 设 可分解成 中两个次数都小于n的 多项式 与 的乘积，即有 设 的系数的公分母为m，则 一个整系数多项式，把 是 系数的公因式n 提出来， 是本原多项式， 即 同理，存在有理数S，使 也是本原多项式， 于是 下证 是一个整数， 设 （p,q互素且p0）， 由于 是整系数多项式， 故p能整除q与 的每一系数的乘积， 而p,q互素，故p能整除 的每一系数， 但由引理1知， 是本原多项式， 故p=1，从而rs是一个整数。 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。 问题： 定理1.9.2（Eisenstein判别法）： 设 是整系数多项式， 若存在素数p，使 ② ① ③ 则 在Q上不可约。 证（反证法）： 若 在Q上可约 在Z上可约， 即存在： 使 其中 故 或 但两者不能同时成立。 不妨设 但 。 由于 ， 由 知 的系数不能都被p 即 但 现考虑 但p能整除其它项，故 与已知矛盾。 假设 是第一个不能被p整除的系数， 整除， 在 中不可约 在 中不可约。 由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。 例1.9.1： 是Q上不可约多项式，p是素数。 例1.9.2： 判断 在Q上是否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。 解：取素数p即知。 Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。 注意： 例： 不可约，但找不到素数p。 系数多项式。 特别地，若 是本原的，则 也是本原的。 推论：设 若 都是 整系数多项式，且 是本原的，则 必是整 的所有系数。） （若不是