函数的单调性30p.pptVIP

人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。 ——亚里士多德 §3 函数的单调性 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% … … 能用图 形表示 吗？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 保持量（百分数） 天数 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 想一想: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线” 从左至右是如何变化的？ 艾宾浩斯记忆遗忘曲线的图形展示 1.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思. 2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图像指出单调性、写出单调区间. 3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性. 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质——函数的单调性． 引入新课 画出下列函数的图像，观察其变化规律： 1、从左至右图像上升还是下降? ____ 2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ． f(x) = x (-∞,+∞) 增大 上升 1.在区间______上，f(x)的值随着x的增大而______． 2.在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____. f(x) = x2 (-∞,0] (0,+∞) 增大 减小 画出下列函数的图像，观察其变化规律： -2 1 2 3 4 5 -2 3 -3 -4 -5 -1 -1 1 2 如图，你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗？ 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？ 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的． 1．增函数 2．减函数 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减小的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的． 3.单调区间，单调性，单调函数 如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减小的，那么称A为单调区间. 如果y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性. 如果y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数. 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 注意： 2.必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时,总有f(x1)f(x2) 或f(x1)f(x2)，分别是增函数和减函数. x o y=2x+1 x o y=(x-1)2-1 1 2 -1 y x y =x3 o 增区间为 增区间为 增区间为 减区间为 【即时训练】 y y 写出下列函数的单调区间： 例1 说出函数 的单调区间，并指明在该区间上的单调性. 解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数 是减少的. 图像不是连续上升或连续下降时，相同单调区间不能合并. 例2 画出函数f(x)=3x+2的图像，判断它的单调性，并加以证明. 解：作出f(x)=3x+2的图像.由图看出，函数f(x)的图像在R上是上升的，函数f(x)是R上的增函数. 证明：设 是R上的任意两个实数,且 则: 在R上是增函数. 取值 作差变形 判断差值符号 下结论 ①取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值,且x1x2; ②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; ③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论; ④判断：根据定义得出结论. 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤: 【提升总结】 此为证明的关键点、易错点 我们观察上图，可知对于定义域中