分形几何 大自然的几何学.pptVIP

新课程现代数学——《分形几何简介》 深圳市南山区中学数学教师新课程培训——《数学开放题》 分形几何简介 An Introduction to Fractal Geometry 深圳大学 张文俊 zwj@szu.edu.cn 引子 名人名言 上帝必定是一个几何学家！ God must be a geometer！ 几何学——人类第一科学 几何学——人类第一科学 “几何学”就是人类文明对空间本质的“认识论”；宇宙中的所有事物皆存在于空间之中、发生于空间之内，并永远受着空间本质的制约与蕴育；而空间本身既完美又简朴的本质则是蕴育着宇宙万物万象至精至简、至善至美的根源。 几何学——人类第一科学 几何学的课题就是去研究、理解空间的本质。它是我们认识大自然、理解大自然、改造大自然的起点和基石；也是整个自然科学的启蒙者和奠基者；还是种种科学思想和方法的自然发祥地。 几何学——人类第一科学 不论是在自然科学的发展顺序上，还是在全局的基本重要性上，几何学都是当之无愧的先行者与奠基者，是理所当然的第一科学。 几何学的发展 几何学的基本研究对象是“空间形式的抽象化——形。 研究形的各种变换不变性质形成了不同研究内容的几何学——欧几里德几何学、射影几何、拓扑学、…… 用不同的方法去研究形，又形成了以研究方法为特征的各种几何学—— 几何学的发展 自古到今，几何学的研究在方法论上大体可以划分成下述几个阶段： (1) 实验几何：用归纳实验去发现空间之本质。（古代中国、古埃及） 几何学的发展 (2) 推理几何：以实验几何之所得为基础，改用演译法，以逻辑推理去探索新知，并对已知的各种各样空间的本质，精益求精地作系统化和深刻的分析。在这方面，古希腊文明获得了辉煌的成就，它也是全人类理性文明中的重大篇章。（古希腊） 几何学的发展 (3) 坐标解析几何：笛卡儿 (Descartes) 和费马(Fermat) 通过建立坐标系，把数学中的两大主角——几何学和代数学——简明而有力地结合起来，开创了近代数学的先河。其自然而然的结果是微积分的产生和大量地运用解析法研讨自然现象。 （法国） 几何学的发展 （4）向量几何：向量几何在本质上乃是坐标解析几何的返璞归真，它的最大优越性在于向量运算的正交不变性 (orthogonal invariance)。可以说，向量几何乃是不依赖于坐标系的解析几何 (coordinate-free analytical geometry)，它自然而然地化解了原先在坐标解析几何中，由坐标系的选取所产生的各种各样（非几何的）非不变量的困扰！ Hamilton 和 Grassmann 分别是 3-维和高维的向量代数的创始者。 几何学的发展 两千多年来，虽然几何学的研究方法发生了多次革命，但是其研究对象却始终保持在两千多年前的局面——欧几里德几何对象——直线、平面、圆形、球形、正方形、正方体乃至其它的如二次曲线之类的空间规则图形。 欧几里德几何学的局限 欧几里德几何学的局限 传统的欧几里德几何学已经在改造自然、训练思维、推进人类文明方面发挥了不可替代的作用。 但是，欧几里德几何所研究的图形限于直线、平面、圆形、球形、正方形、正方体乃至其它的如二次曲线之类的空间规则图形。 当我们严格地去分析欧几里得几何与自然的关系时，我们会发现，要想在自然界中找到真正的圆形、球形、正方形、正方体等，几乎是不可能的，欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物。 测量事物 欧几里得几何学的研究对象仅涉及具有特征长度的几何物体： 0 维空间：点，可以计数，没有长度； 1 维空间：线段，有长度，没有宽度； 2 维空间：矩形，有周长、面积，没有体积； 3 维空间：方体，有表面积、体积； 自然界中很多物体具有特征长度，比如：人有高度、山有海拔高度等。 欧几里德几何学的局限 但是事物大多没有这么简单。美国计算机科学家曼德尔布罗特（Mandelbrot ）就提出了这样一个问题： 英国的海岸线有多长？ 英国的海岸线有多长？ 当你用一把固定长度的直尺来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。 如果尺子小到无穷小，则测得的长度将是无穷大。 英国的海岸线有多长？ 得到的结论是：海岸线的长度是多少？——这取决于所用尺子的长短。 精细的测量发现：海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零； 而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。 但是，海岸线面积为零，长度无穷，究竟海岸线的什么量有界呢？ 英国的海