函数图像的切线问题.docx

函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x0，f(x0))，求y＝f(x)在点P处的切线方程： 切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将A(s,t)代入求出x0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x0，y0)，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f′?x0?＝g′?x0?，,f?x0?＝g?x0?.)) 若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点与已知曲线相切的切线方程. 解：点不在曲线上. 设切点的坐标，则，函数的导数为， 切线的斜率为，， 点在切线上，，又，二者联立可得相应的斜率为或 切线方程为或. 例2. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为________ 解析：由切线过可得：，所以，另一方面，，且，所以，从而切线方程为： 例3. 已知直线与曲线切于点，则的值为_________ 解析：代入可得：，， 所以有，解得 题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数） 例4.已知函数，则： （1）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线平行 （2）在曲线上是否存在一点，在该点处的切线与直线垂直 解：设切点坐标为 由切线与平行可得： 切线方程为： （2）设切点坐标 ，直线的斜率为 而 不在定义域中，舍去 不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直 例5.函数上一点处的切线方程为，求的值 思路：本题中求的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，在直线上，，即，得到的一个等量关系，在从切线斜率中得到的导数值，进而得到的另一个等量关系，从而求出 解：在上， 又因为处的切线斜率为 , 例6.设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求的值 思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为，进而可得导函数的最小值为，便可求出的值 解： 直线的斜率为，依题意可得： 题型三 公切线问题 例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于(　　) A.或 B. 或 QUOTE C. 或 D. 或 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值.设过的直线与曲线切于点 ,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得 ，同理，切点为解得 答案：A 小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与求的过程中，由于曲线为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线） 例8.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 解析：设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，所以有，所以，即，设，则.可知在单调递增，在单调递减，所以 题型四 切线方程的应用 例9.已知直线与曲线有公共点，则的最大值为 . 解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时，取得最大值. 设切点坐标为，则， ，切线方程为，原点在切线上，， 斜率的最大值为. 例10.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 思路： 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 所以切线方程为：即， 与两坐标轴的交点坐标为 例11.一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )． A. B. C.