《13-4-课题学习-最短路径问题》课件(共21张ppt).pptVIP

13.4 最短路径问题 “将军饮马” --相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 　　从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ B A l 　　将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线． B · · A l 　你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， 　　 AC 与CB 的和最小（如图）． 　思考1：如何将点B转“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 　　如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小呢？ B · l A · 思考2：你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ 　　作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． 　 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · B ′ C 　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C 　　证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 　　即　AC +BC 最短． 　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 　　若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． B · l A · B′ C C′ 　　思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小。 变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使△BAC的周长最小。 变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB的周长最小。 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） A B M N a b 问题2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。 A B M N a b A′ A B M N a b A′ M′ N′ 证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知A/N/+N/BA/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/ AM+NB+MN. 问题2 问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得AM+MN+NB的和最小吗？试一试。 A B M N a b ?如何在四边形ABCD内取一点O， 使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。 ? 如何在四边形ABCD内取一点O， 使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。 证明：如果存在不同于点O 的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，同理，PB+PD＞OB+OD，∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB