2015数学建模作业实验2.docxVIP

姓名：雷锋 答: 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，，，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值， 由于,,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示： 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，，，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值， 由于,,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示： 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，，，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值， 由于,,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是不稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示： 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示，该方程组的解就是，故（0，0）点为微分方程的平衡点； 在分析方程的稳定性之前，先分析线性微分方程组的稳定性，将线性方程组写成，其中，，，因为，故（0，0）是其唯一平衡点。 设，可知特征值， 由于,,将计算结果对照课件中表2.1（平衡点与稳定性的各种情况），可知（0，0）点是稳定的。 绘出自治系统相应的轨线，并标出随t增加的运动方向，如下图所示： 答： （1）营养的浓度能达到平衡。 （2）已知，令； 当时，得到的N为平衡解； 故 （3）它是稳定的 因为当时，且； 当时，且，如下图所示，在处稳定。 答： 根据题意设在t时刻，病菌数量为,病菌增长率为，死亡率为，当时，; 由此可以建立微分方程，如下所示 令，当时，计算其平衡点， 下图画出了的符号取值范围和的变化趋势； 根据题意可知，细菌数量N不可能小于0，当时，，当时，； 因此，根据图示可以判断，是稳定的，不是稳定的。 答：令，计算时的平衡点； 得到平衡点，； 计算； 分别将和带入后得到 由此可以判断出平衡点处是稳定的，平衡点是不稳定的； 由于，且; 计算； 当时，，因此可知在曲线的零点位置，其切线斜率为r; 已知,故必存在平衡点； 令，计算得到； 将其带入，可得； 将和带入； 计算可得最优捕捞率 答：根据题意可知渔场鱼量自然增长的模型，减去相应的捕捞量后的鱼量为；这里并不需要解方程以得到x(t)的动态变化过程,只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向,并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程的平衡点并分析其稳定性 令,计算其平衡点； 计算,将带入后得到，，故平衡点是稳定的。这说明只要捕捞适度，就可以让渔场的鱼量稳定在，应用图解法： 、 由图可知，当h（x）和g（x）在的顶部相交时，可以获得最大的持续产量。令，得到稳定时的平衡点； 带入到中，得到 将带入到，计算保持渔场鱼量稳定在的捕捞强度为 答： 该二阶微分方程可用一个二元微分方程组来表示； 将该二元微分方程组展开并整理得到方程组如下所示： 计算该方程组，求得平衡解如下： 1、对于平衡点，由于 计算得到 ， 由于，，故且 由定理2.2可知，平衡点是不稳定的。 （1）对于平衡点，由于 带入平衡点可得 , 已知，，如果，那么得到且。 根据定理2.2可知，当且时，平衡解是稳定的，则当时，。 （2）对于平衡点，由于 带入平衡点可得 , 已知，，如果，那么得到且。 根据定理2.2可知，当且时，平衡解是稳定的，则当时，。 （3）用图形分析方法解释上述情况： 由于平衡点是不稳定的，故只考虑 对于线性方程组在平面上代表2条直线和，其中和分别对应如下： ： ： 上式中和代表直线在平面图横轴和竖轴的坐标；和代表直线在平面图横轴和竖轴的坐标。 当纵坐标为0时，计算得，； 当纵坐标为0时 ； 第一种情况：令且，得到，将第一区域分为3个部分，如图所示: 在区域I中，，，即随着t的增加而增加，并且当经过直线时，有，所以，即切线是垂直的，也就是说，相轨曲线是以垂直方向进入到区域II。 在区域III中，，，即随着t的增加而减少，并且当经过直线时，有，所以，即切线是水平的，也就是说，相轨曲线是以水平方向进入到区域II。 在区域II中，，，即随着t的增加而减小，随着t的增加而增加，最