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二面角（2010-2012真题） 1.（2012年全国高考课标卷）如图，直三棱柱中，是棱的中点，。 （1）证明：； （2）求二面角的大小。 2.（2012年全国高考全国卷一）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，， 是上的一点，。 （1）证明：平面； （2）设二面角为，求与平面所成角的大小。 3.（2011年全国高考课标卷）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。 (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 4.（2011年全国高考全国卷一）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，。 (Ⅰ)证明：平面； (Ⅱ)求与平面所成角的大小。 5.（2010年全国高考全国卷一）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。 （Ⅰ）证明：SE=2EB； （Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小。 6.（2010年全国高考全国卷二）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，。 （Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线； （Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小。 二面角（2010-2012真题）参考答案 1.（2012年全国高考课标卷） 【试题解析】（1）证明：在中， 得：， 同理： 得：面。 （2）解：面， 取的中点，过点作于点，连接， ，面面面。 得：点与点重合。 且是二面角的平面角。 设，则，。 既二面角的大小为。 2.（2012年全国高考全国卷一） 【试题解析】设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。 （Ⅰ）证明：由得， 所以，，，所以， 。所以,，所以平面； （Ⅱ）解：设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。 3.（2011年全国高考课标卷） 【试题解析】（Ⅰ）因为, 由余弦定理得 ，从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD. 故PABD。 （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴 建立空间直角坐标系D-，则 ,,,。 设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则 即 ， 因此可取=。 设平面PBC的法向量为，则 可取=（0，-1，）， 所以。 故二面角A-PB-C的余弦值为 　。 4.（2011年全国高考全国卷一） 【试题解析(Ⅰ)证明：取中点，连结，则四边形为矩形，。 连结，则，。 又,故,所以为直角。 （3分） 由,,,得平面,所以。 即与两条相交直线、都垂直， 所以平面。 （6分） 另解:由已知易求得,于是，可知。 同理可得,又，所以平面。 （6分） (Ⅱ)解：由平面知，平面平面。 作,垂足为,则平面ABCD,。 作,垂足为,则。 连结，则，又, 故平面,平面平面 。 （9分） 作,为垂足,则平面。 ,即到平面的距离为。 由于,所以平面,到平面的距离也为， 设与平面所成的角为,则,。 （12分） 6.（2010年全国高考全国卷一） 【试题解析】解法一： （Ⅰ）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG=GC=BG=1,即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD。 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD， 所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE。 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE。 即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。 所以 DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB。 SB=， DE=， EB=，SE=SB-EB=。 所以SE=2EB。 （Ⅱ）解：由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知 AE=，又AD=1，故△ADE为等腰三角形。 取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF=。 连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE， 所以，∠AFG是二面角A—DE—C的平面角。 连结AG，AG=，FG=， ， 所以，二面角A—DE—C的大小为120°。 （2010年全国高考全国卷二） 【试题解析】解法一：（Ⅰ）证明：连接，记与的交点为F。 因为面为正方形，故，且。 又，所以，又D为的中点， 故，。 作，G为垂足，由知，G为AB中点。 又由底面面，得面.连接