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一元二次方程知识点大全
一元二次方程知识点小结
一元二次方程的定义及一般形式:
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式: 。其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。
注意:三个要点, = 1 \* GB3 ①只含有一个未知数; = 2 \* GB3 ②所含未知数的最高次数是2; = 3 \* GB3 ③是整式方程。
一元二次方程的解法
(1)直接开平方法:
形如的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得或者,。
注意:若b0,方程无解
(2)因式分解法:
一般步骤如下:
= 1 \* GB3 ①将方程右边得各项移到方程左边,使方程右边为0;
= 2 \* GB3 ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式;
= 3 \* GB3 ③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;
= 4 \* GB3 ④解这两个一元一次方程,他们的解就是原方程的解。
配方法:
用配方法解一元二次方程的一般步骤
= 1 \* GB3 ①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;
= 2 \* GB3 ②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;
= 3 \* GB3 ③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为的形式;
= 4 \* GB3 ④用直接开平方法解变形后的方程。
注意:当时,方程无解
公式法:
一元二次方程 根的判别式:
方程有两个不相等的实根:()方程有两个相等的实根
方程无实根
韦达定理(根与系数关系)
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c=0之后,设它的两个根是和,则和与方程的系数a,b,c之间有如下关系:
+=; =
4.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似
= 1 \* GB3 ①“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系;
= 2 \* GB3 ②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;
= 3 \* GB3 ③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。
= 4 \* GB3 ④“解”就是求出说列方程的解;
= 5 \* GB3 ⑤“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。
注意:一元二次方程考点:定义的考察;解方程及一元二次方程的应用。
典型例题
1、下列方程中,是一元二次方程的是:( )
A、+3x +y=0 ; B、 x+y+1=0 ;
C 、 ; D、
2、关于x的方程(+a-2)+ax+b=0是一元二次方程的条件是( )
A、a≠0 ; B、 a≠-2 ;
C 、 a≠-2且 a≠1 ; D、a≠1
3、一元二次方程-3x = 4的一般形式是 ,一次项系数为 。
4、方程 = 225的根是 。
方程3 -5 x=0的根是 。
(-24x + ) =(x- )2。
一元二次方程a+bx +c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b +c= 。
关于x的一元二次方程m-2x +1= 0有两个相等实数根,则m= 。
9、已知,是方程2+3x -4=0的两个根,那么 + = , × = 。
10、若三角形其中一边为5cm,另两边长是两根,则三角形面积为 。
11、用适当的方法接下列方程。
(1)用配方法解方程3x2-6x+1=0 (2)用换元法解()2+5()-6=0;
(3)用因式分解法解3x(x-)=-x; (4)x-2)2-4=0.
(5)(2x-1)2 + 3(2x-1)+2=0 (6)用公式法解方程2x(x-3)=x-3
(7) (8)(2x-3)2-2(2x-3)-3=0
12.若方程x2-2x+(2-)=0的两根是a和b(ab),方程x-4=0的正根是c,试判断以a、b、c为边的三角形是否存在.若存在,求出它的面积;若不存在,说明理由.
13、若两个连续偶数的积是288,求这两个偶数。
14.从一块长80cm,宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下的长方形四周宽度一样,并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半,求这个宽度?
15、已知关于x的方程的一个根是,求方程的另一个根和p的值.
16.已知:关于x的方程x2+(8-4m)x+4m
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