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函数与极限 例如, 例如, 例1. 已知 如 例如. 3.单侧极限--- 左极限与右极限 例6. 设函数 NO18. 设函数  2. 时,函数f(x)的极限 定义：设函数y=f(x)在点x0的某空心邻域内有定义，A是某确定常数，如果当自变量x趋近于x0时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在x趋于x0时以A为极限，  2. 时,函数f(x)的极限 记为  正弦函数 余弦函数 可以证明：以下的极限均成立 左极限 : 如果当 从 的左侧无限趋近 时,记着 函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A, 则称A为函数f(x)当 时的左极限。记作 类似可定义右极限 : 函数的左极限和右极限 统称为单侧极限。 对数函数 例如： 定理1.1： 当 时,函数 极限存在的 充要条件是左、右极限存在且相等， 即 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 因为 显然 所以 不存在 . * 1.3 极限概念(limit) 极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算,也是微积分学研究的基本工具?.后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。 极限是高等数学中的一种重要的研究方法。 极限是以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律,通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函数,并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物,从而深化对客观世界的认识。 1.3.1 数列的极限(limit of sequence) 数列的定义： 按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列。 记作 称为通项(一般项) . 数列的极限 数列极限的定义，请同学们回忆一下。 中国古代的极限思想： “一尺之椎，日取其半，万世不竭。” 考察当n→+∞时，通项xn的变化趋势。 数列极限的实质： 趋势不定 数列 数列当项数n无限变大时 的极限定义： 数列的各项 数值向一个常数 无限靠近， 则称常数 为该数列的极限。 记作 或 如果一个数列的极限存在,则称该 数列是收敛(converge)； 如果一个数列的极限不存在,则称该 数列是发散(diverge)。 常数 0 称为此数列的极限 记作： 收 敛 趋势不定 发 散 记作： 证明 证: 时， 可以无限变小 故 函数 随着自变量的变化而变化,研究 函数的极限,就是研究当自变量 按照某种 方式变化时所对应的 1.3.2函数的极限 (limit of function) 函数值的变化趋势。 二、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种 形式: 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 :  1. 时,函数f(x)的极限 定义：设函数y=f(x)在 x大于某个正数a时有定义,A是某确定常数,如果当自变量x 趋于 时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在 时以A为极限，  1. 时,函数f(x)的极限 记为 指数函数 同理: 正弦函数 余弦函数 对数函数 * *