§-13.1-不定积分的概念备课笔记.docVIP

五年制高职教案 PAGE \* MERGEFORMAT - 1 - §13.1 不定积分的概念 教学目的 1．正确理解原函数的概念。 2．掌握不定积分的定义，了解不定积分的几何意义。 教学重点 掌握不定积分的定义 教学难点 掌握不定积分的定义 课外作业 习题13.1 A组 教学过程 一、不定积分的概念 定义1.1 设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得该区间任一点处，均有或成立，则称为在该区间上的一个原函数 例如，因为，，……，所以都是函数的原函数，因此的原函数如果存在，那么不是唯一的。 定理1.1 若是的一个原函数，则都是的原函数，并且的任一原函数度可以表示为。 例1 求下列函数的全部原函数： （1） （2） 解：（1）因为，所以是的一个原函数，于是的全部原函数为 （2）因为，所以是的一个原函数，于是的全部原函数为 定理1.2 若函数在区间上连续，则在上必存在原函数。 练习13.1.1 二、不定积分的概念 定义1.2 若是在区间上的一个原函数，则的全体原函数称为在区间上的不定积分，记为，即 ，其中为积分号，为被积函数，为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数。 例2 求下列各不定积分 （1） （2） （3） （4） 解：（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 例3 求下列各式中的 （1） （2） 解：（1）由定义可知，是的一个原函数，所以有 （2）由定义可知，是的一个原函数，所以有 由不定积分与微分互为逆运算可以得到下列不定积分与微分的关系： （1）或 （2）或 练习13.1.2 三、不定积分的几何意义 设是的一个原函数，则曲线称为的一条积分曲线，不定积分的几何意义是的全部积分曲线所组成的积分曲线族，其方程是 由于，因此这个曲线族中的所有积分曲线在点处的切线互相平行，即这些切线有相同的斜率。 例4 求经过点，且其切线的斜率为的曲线方程 解：设所求曲线方程为，则由题意可知，，于是所求的曲线方程为 又因为曲线经过点，则将其代入上述曲线方程，可得，故所求曲线方程为。 练习13.1.3 作业 习题13.1 A组