几类数列典型例题分析2013.10.docVIP

平邑实验中学高三复习阅读材料 数列典型题目 几类数列典型例题分析 高考风向标：数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． 典型题选讲：例１若数列{an}满足若，则的值（ ） A． B． C． D． 讲解　逐步计算，可得, 这说明数列{an}是周期数列，而, 所以．应选B． 点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色． 例2　设数列{an}前n的项和为 Sn，且其中m为常数， （1）求证：{an}是等比数列； （2）若数列{an}的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求． 讲解（1）由，得 两式相减，得 是等比数列． 　　 点评　为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题． 例3 如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度． （1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 讲解　(1) 由图形可设， 当粒子从原点到达时，有 …　　　　　　　　　… ∴＝, .,． ,,即. （2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加（44－16）＝28秒，所以秒． （3）由2004，解得，取最大得n=44, 经计算，得从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）． 点评　从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在． 例4　已知数列的前项和满足. （1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式； （3）证明：对任意的整数，有 . 讲解　（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 　由由 由 （２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上 当时，有 即有　从而　 　　　 …… 接下来，逐步迭代就有 经验证a1也满足上式，故知 其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得　　　　　．令就有，于是 ， 这说明数列是等比数列，公比　首项，从而，得 　　， 即　， 故有 （３）由通项公式得当且n为奇数时， 当为偶数时， 当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景 故任意整数m4，有 点评　主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．