数列通项公式的完整求法-还有例题详解.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4） 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为： （2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 二、公式法：当已知条件中有a和s的递推关系时，往往利用公式： a＝来求数列的通项公式。 例1： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 例2. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D) 解析：设等差数列的公差位d，由已知， 解得，又是递减数列， ∴ ，，∴ ，故选(D)。 例3. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 解析：由题意，，又是等比数列，公比为 ∴，故数列是等比数列，，∴ 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 例4: 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 【解析】： ， ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列. 例5：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式。 分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求。 解： a=a-3, a=6 s＝a－3 （nN） ① s＝a－3 (n2且nN) ② － ②得：a＝a－a a＝a，即＝3(n2且nN) 数列是以a=6，公比q为3的等比数列. a＝aq＝63＝23。 例6：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式. 分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易。 解 s＝（a+），a=( a+) a=1 又a＝ s－s (n2且nN) s＝（s－s＋） 2s＝s－s＋ s＋s＝ s－s＝1 (n2且nN) 数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。 s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝， 当n2时，s－s＝a＝－ 将n＝1代入上式得a＝－ 练习：数列前n项和为，已知＝5－3（）,求 三.累加法：求形如=＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。（其中f(n)能求前n 项和即可）利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 例1.已知数列中，,求这个数列的通项公式。 分析：由已知，得，注意到数列的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。 解：数列中，，可得： 以上各式相加， 将n＝1代入上式得 练习：已知数列中，，求 例2：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 解 易知∵ …… 各式相加得∴ 点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。 例3. 若在数列中，，，求通项。 解析：由得，所以，，…，， 将以上各式相加得：，又所以 = 例4 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式. 【解析】：,,=1+++ =. 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练3.已知,,求数列通项公式. 3.累乘法：求形如=的递推数列通项公式的基本方法。（其中可求前n项 积即可）。利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 例1.若满足求这个数列的通项公式。 分析：由知数列不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。 解： 以上各式相乘得： 将n＝1代入上式得 变式练习：设是首项为1的正数组成的数列，且，则它的通项公式为　　　　． 例2：在数列｛｝中， =1, (n+1