不等式-总结-(老师版).docVIP

优化系列（代数卷） 编写：江小谦 方法篇 第1讲 不等关系与不等式 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;ab;a=b； ；；． 2．不等式的性质： （1）对称性:， （2）传递性:， （3）可加性:. 移项法则: 推论：同向不等式可加. （4）可乘性:， 推论1：同向(正)可乘: 推论2：可乘方(正): ` (5) 可开方(正): 考点1 不等关系及不等式 题型1.建立不等关系 [例1] 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ [解析] 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.. 根据题意，应有如下的不等关系： （1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）解得两钟钢管的数量都不能为负。 由以上不等关系，可得不等式组： 题型2用:比较法两个数的大小 例2. 比较与（其中，）的大小 解析：， ∵，，∴，所以． 考点2 不等式的性质 题型：验证或推导简单不等式的有关结论 例1. 已知：m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b. 证法一：由m＞n知m－n＞0，由a＜b知b－a＞0. ∴（m－a）－（n－b）＝（m－n）＋（b－a）＞0m－a＞n－b； 证法二：∵a＜b ∴－a＞－b 又∵m＞n ∴m＋（－a）＞n＋（－b） ∴m－a＞n－b. 例2.已知下列三个不等式①;②;③,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题. [解析](1)对②变形,由得②成立,∴①③②. (2)若,则,∴①②③.(3)若,则,∴①②③. 综上所述可组成3个正确命题. 考点3 不等式性质综合应用 题型1.用比较法证函数的单调性 例1. （广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试） 已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有 （1）求证：是偶函数； （2）求证：在上是增函数； （3）解不等式 解析；（1）证明　因对定义域内的任意、都有 ，则有　　　　　　 又令　　 再令　　　 　　于是有　　　 （2）设 　　由于从而，　　 　　故上是增函数． （3）由于　 于是待解不等式可化为，　　　 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于　解得．　　 题型2.用比较法处理数列中的不等关系. 例2. （广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试改编） 已知数列满足，且。 （1）求数列的通项公式； （2）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。 【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性 解：（1）由得- 由一元二次方程求根公式得 ∵∴ (2) 解：∵ ∴ ∵,∴∴，∵ ∴即 ∴数列有最大项，最大项为第一项。 第2讲 一元二次不等式及其解法 ★ 知 识 梳理 ★ 一.解不等式的有关理论 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式； 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形； 解不等式时应进行同解变形； 解不等式的结果，原则上要用集合表示。 二.一元二次不等式的解集 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 三.解一元二次不等式的基本步骤： 整理系数，使最高次项的系数为正数； 尝试用“十字相乘法”分解因式； 计算 结合二次函数的图象特征写出解集。 四.高次不等式解法： 尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解 （注意每个因式的最高次项的系数要求为正数） 五.分式不等式的解法： 分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； 考点1 一元二次不等式的解法 题型1.解一元二次不等式 [例1] 不等式的解集是( ) 　 A． 　　 　B. 　　 　C. 　 　D. [解析]由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D. 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数. [例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集. 【解题思路】由韦达定理求系数 [解析] 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,∴即,其解集为. 考点2 含参数不等式的解法 题型1：解含参数有