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九年级数学上册-21.3-二次函数与一元二次方程名师教案-(新版)沪科版
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二次函数与一元二次方程
教学目标
1.理解二次函数与一元二次方程的关系,会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化.
2.会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解.
3.探求利用图象求一元二次方程根的过程,掌握数形结合的思想方法.
教学重难点
探索二次函数图象与一元二次方程的关系,理解抛物线与x轴交点情况,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根;函数→方程→x轴交点,三者之间的关系的理解与运用.
教学过程
导入新课
出示二次函数的图象,如图所示,根据图象回答:
1.x为何值时,y=0?
2.你能根据图象,求方程x2-2x-3=0的根吗?
3.函数y=x2-2x-3与方程x2-2x-3=0之间有何关系呢?
推进新课
一、合作探究
【问题1】 画出函数y=x2+3x+2的图象,根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴交点的坐标是什么?
(2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2+3x+2=0有什么关系?
(3)你能从中得到什么启发?
教学设计: 1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法,按列表、描点、连线等步骤画出函数y=x2+3x+2的图象.
2.教师巡视,与学生合作、交流.
3.教师讲评,并画出函数图象.
4.教师引导学生观察函数图象,回答(1)提出的问题,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-1,0)和(-2,0).
5.让学生完成(2)的解答.教师巡视指导并讲评.
6.对于问题(3),教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,达成共识:从“形”的方面看,函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2+3x+2=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2+3x+2的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2+3x+2=0的解.更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.
【问题2】 画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象,并根据图象观察:
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0各有几个根?用根的判别式验证一下,你有什么发现?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点;②有一个交点;③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异实数根
b2-4ac
有一个交点
有两个相等实数根
b2-4ac
没有交点
没有实数根
b2-4ac
【问题3】 根据问题1的图象回答下列问题:
(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时,y>0?
当-2<x<-1时,y<0;当x<-2或x>-1时,y>0.
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?
能用含有x的不等式来描述(1)中的问题,即x2+3x+2<0的解集是什么?x2+3x+2>0的解集是什么?
【问题4】 想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系?
让学生类比二次函数与一元二次方程的关系,讨论、交流,达成共识:
(1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解.
(2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解.这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系.
【问题5】 利用函数y=x2-2x-2的图象,求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
分析:用描点法画函数y=x2-2x-2的图象,图象要求尽可能准确(如图).
方法一:确定抛物线与x轴的两个交点的位置,估计方程x2-2x-2=0两根的范围.
观察图象,x1≈-0.7时,y的值最接近于0;x2≈2.7时,y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈-0.7,x2≈2.7.
方法二:观察图象发现,当自变量为2时,
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