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定点分圆锥曲线的弦所成的比λ与弦的斜率k的关系之探求
定点分圆锥曲线的弦所成的比λ与弦的斜率k的关系之探求
【摘要】对2010年辽宁省高考理科数学第20题求椭圆c的离心率的试题,给出这道试题的基本解法,然后再作归纳拓展。
【关键词】圆锥曲线;高考;解析几何;试题
“设椭圆c: 的左焦点为f,过点f的直线与椭圆c相交于a,b两点,直线 的倾斜角为60o, .⑴求椭圆c的离心率;⑵略”.
这是2010年辽宁省高考理科数学第20题,下面首先给出这道试题的基本解法,然后再作归纳拓展.
解法一:椭圆半焦距 ,直线 的方程为 . 联立 与 消去 整理得 .
直线 过椭圆内部的点,必有 ,设 ,则
①, ②
③.
①③ , .
代入②式得: ,
即 ,
两端除以 得: ,
,
注意到 ,解得 .
解法二:直线 的方程为 ,与 联立消去 整理得关于 的一元二次方程 .
直线 过椭圆内部的点f,必有 ,设交点 ,则
①, ②.
③.
①③ , ④,
将④代入②整理得: , , .
由本道高考试题推测(归纳拓展)一般性的规律:一条圆锥曲线,过焦点的弦如果斜率 确定,则焦点分弦所成的比 就随之而定;反之,如果 确定,则 就随之而定.更一般地,过定点的直线被圆锥曲线截得的弦与定点之间也存在这种依赖关系.
具体地,设过定点 的直线 与圆锥曲线 ⑴相交于 两点,满足 =λ (即 分弦 所成的比为λ),那么 与弦 所在直线的斜率 有怎样的关系呢?如何探求?
基本思路一:
(如果必要)对 不存在的情形单独讨论.
直线 过点 且斜率等于 ,则其方程是 ,与圆锥曲线方程⑴联立消去 ,形式地得到关于 的一元二次方程 ,其中 中至少一项由 表示.
由于直线与曲线有 两个不同交点,必有 .
设 ,由韦达定理得
①, ②.
其次,
③.
时直接由①求 值(或讨论 的存在性).
时,注意到①、③两式都是关于 的一次式,②是关于 的二次式,联立①③即得关于 的二元一次方程组,因此面对①②③式,首先联立①③求得
, ,
代入②式整理即可得到关于 与 的关系式.
基本思路二:
将弦所在直线方程与圆锥曲线方程联立消去 得关于 的二次方程,然后作与思路一类似的处理.
当定点 横坐标等于0时用思路一计算量较小, 纵坐标等于0时用思路二计算量较小.
下面举例作一些分析.
例1. 抛物线的过焦点 且斜率为 的弦 满足 =λ ,探求 与 的关系式.
解析:不妨设抛物线的方程为 (焦点在轴上的情形作类似处理),则焦点坐标为 ,焦点弦的方程为 ,联立 与 消去 整理得关于 的二元一次方程: ,判别式 .
设 ,则由韦达定理得:
①, ②.
=λ
③
联立①③解得:
, ,
代入②得: ,
整理得 与 的关系: .
例2. 离心率为 的椭圆的过焦点 且斜率为 的弦 满足 =λ ,探求 与 的关系式.
解析:不妨设椭圆方程为 (焦点在 轴上的情形可作类似处理).
椭圆离心率 , ,据此可把椭圆方程化为
(※).
注意到对称性,不妨取椭圆右焦点 ,椭圆的弦 的方程为: ,
与方程(※)联立消去 并整理得关于 的一元二次方程
,
过点 且 在椭圆内,必有 .设 、 ,则
①, ②.
其次, =λ ③.
联立①③解得:
, ,
代入②式得:
化简整理得 与 的关系式: .
对于双曲线,完全类推,可以得到与椭圆情形形式上完全相同的关系式:
.
对于抛物线,由例1知 .
因此,对于圆锥曲线,具有统一的结论:
定理:圆锥曲线离心率等于e,圆锥曲线的弦 过焦点f, =λ , 所在直线斜率等于k, 则 与 满足关系式
,
其中 与 不存在( 轴)对应.
对于本文开头所选的辽宁高考题, ,代入本例结论立即求得离心率 .
例3、过点a(1,1)的直线 与双曲线 相交于b、c两点,满足3|ab|=2|bc|,求直线 的方程.
解: 轴时,方程为 ,代入 得y2=-3,无解,无交点.
与x轴不垂直时,设其方程为 ,与 联立消去 并整理得
,
交点 存在,则 且 .
设 ,则
①, ②
记 =λ ,则
③.
.
时,联立①③解得 , ,代入②求得 ,验证知 ;
时,联立①③解得 , ,代入②求得 ,验证知 .
于是得直线 的方程:
、 ,即 、 .
对于二次曲线类似问题,均可类似处理,譬如:
例4.已知直线 , ,过原点 的直线 与这两条直线交于 两点, ,求直线 的方程.
解:直线 过原点 , 轴时,方程为 , 与 交于点 , 与 交于 , , , ,符合题意.
当直线 与 轴不垂直时,设 方程为 ,与 联立消去 并整理得: .
交点 存在,设 ,则
①, ②,
或 . 都不过原点, 不可能成立. ③.
联立①③解得: ,
代入②解得唯一解 ,验证: .
综上可知,所求直线 的方程是: .文毕.
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