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一元二次方程中的整体思想（换元法） 一、内容概述 所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。 二、例题解析 初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。 （一）换元法在解方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。 1.利用倒数关系换元 例1 解分式方程： 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。 解：移项整理得 设，则原方程可化为 去分母得 解得 当时， 解得 经检验： 是原方程的根 所以，原方程的根为 练习1 解无理方程： 2.利用平方关系进行换元 例2 解方程： 分析：代数式与有平方关系，因此可以这样解 解：设，则原方程可化为 解得， 当时， 解得 当时，， 此方程无实数根 经检验： 是原方程的根 所以，原方程的根为 练习2 解方程： 分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的项与的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程 3.利用对称关系换元 例3 解方程组： 分析：将第二个方程左边分解因式可得，如果设，，那么原方程组可化为简单的对称方程组 4.均值换元 例4 分解因式 分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似”，不妨可以设，解题步骤如下： 解：设，则 原式= 当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。 5.整体代入 据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。 例5 已知，那么 解：因为， ，所以 因此，原式= 习题部分 1.换元法解方程： 2.因式分解： 3.解分式方程组： 4.解无理方程： 5.已知四个连续的整数为，试说明这四个整数的积加上1， 是完全平方数 6.已知，且，求的值 7.甲、乙、丙三种货物，购买甲3件，乙7件，丙1件，需要3.15元；购买甲4件，乙10件，丙1件，需要4.20元；现各购买1件，需要多少元？