第三讲--函数的极限---无穷小与无穷大.pptVIP

函数与极限 第一章 函数的极限 无穷小与无穷大 高等数学Ⅰ 函数的极限 无穷小与无穷大 第三节 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 第四节 四、无穷小 五、无穷大 六、无穷小与无穷大的关系 七、主要内容 作业 活页P8 4；5 活页P9 3；4 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 证 定理2 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷 小的讨论. 1、函数极限的统一定义 (见下表) 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 3、无穷小与无穷大主要内容: 两个定义; 两个定理; 4、几点注意: （1）无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （2） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （3） 无界变量未必是无穷大. 2、函数极限的性质 四个定理; 思考题 思考题解答 答 不能保证. 例 有 * * 几何解释: 复习： 第一章 二、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 函数的极限 播放 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 2.另两种情形: 3.几何解释: 例1 证 2.几何解释: 注意： 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 例5 证 例6 证 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例7 证 2.函数极限的局部有界性 1.唯一性 推论 3.函数极限的局部保号性 5. 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定理 推论 4.保序性 定理 证 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 例8 证 二者不相等, 第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 无穷小与无穷大 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数； 3. 无穷小必须与一极限过程联系起来. 2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 * *