初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案).docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 思路点拨 1．第（2）题BP＝2分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ． 解答：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以，． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是 △ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以．所以，． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时．所以． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时．所以． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，． 在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）． 此时．所以． ②如图6，当QC＝QD时，由，可得． 所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）． 此时．所以． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）． 图5 图6 考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解． 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ① 求S与t的函数关系式； ② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值． 图1 思路点拨： 1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点． 2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论． 3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程． 4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 解答： （1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）． Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5． 因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形． （2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H． 在Rt△BNH中，BN＝t，，所以． 如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时 ．定义域为0＜t≤2． 如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时 ．定义域为2＜t≤5． 图2 图3 ②把S＝4代入，得． 解得，（舍去负值）． 因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时． ③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中