7-2数项级数的审敛法.docVIP

PAGE PAGE 4 ·复习 1 级数的概念。2 级数的敛散性。3 级数的性质。 ·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。我们先来考察正项级数的敛散性。 ·讲解新课 7-2 常数项级数的审敛法（一） 一 正项级数及其审敛法 定义 如果级数的每一项都是非负数，即，，那么称级数为正项级数． 如果级数是一个正项级数，那么它的部分和数列是一个单调增加数列：，如果数列有界，即总不大于某一个常数，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数必收敛于和，且；反之，如果正项级数收敛于和，即，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：有界，因此可得如下结论： 定理 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。 由此定理可知：如果正项级数发散，则当时，它的部分和数列，即： 1 比较审敛法 设有两个正项级数和， 如果≤成立，那么 （1）若级数收敛，则级数也收敛. （2）若级数发散，则级数也发散． 用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p－级数。 定义 当时 ，. 称为 p－级数 特别地：当时，p－级数是调和级数。 定理 当时，p－级数收敛；当≤1时，p－级数发散． 例2 判断下列级数的敛散性。（1）（2） 解（1）由于，而发散，所以级数发散。 （2） 由于， 而级数是时的p－级数（收敛）。所以原级数收敛。 用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p－级数。 练习 判断下列级数的敛散性。（1）（2），（3），（4），（5）， （6） （7） （8） （9） 答案 （1） 因为 ， 且调和级数发散，所以原级数发散． （2）因为≤，所以原级数收敛。 （3）因为，所以原级数收敛． （4）因为≤，所以原级数收敛． （5）因为，所以原级数收敛。 （6）收敛。（7）收敛。（8）收敛。（9）发散） 定理3（比值审敛法）设有正项级数，如果 ， 则 （1）当时，级数收敛. （2），当(或)时级数发散. （3）当时，级数可能收敛，也可能发散． （如果正项级数的一般项中含有乘方或阶乘因式时，可试用此方法） 例3 判断级数下列的敛散性。 （1） （2） （3） （4） 解 （1） 因为，于是得 ， 根据比值判别法知此级数发散。 （2）因为， 所以级数发散． （3）因为， 所以级数是收敛的． （4）因为， 所以级数发散． 例4 证明级数收敛。 证明 ， 所以此级数收敛。 练习 判定下列级数的敛散性. （1），（2），（3），（4）， 答案 （1）收敛。（2）收敛。（3）发散。（4）收敛。（5）发散。 小结 判断级数的敛散性，必须把判别定理及级数性质记熟，并分清级数的类别，对不同的级数采用不同的判别法，如正项级数用比较、比值判别法。作业 P105 1 板书设计 一 正项级数及其敛散性 比较判别法， 例1 例2 比值判别法 例3 例4 练习 小结 作业 ·复习 正项级数的比较判别法和比值判别法。 ·讲解新课 7-2 常数项级数的审敛法（二） 二 交错级数及其敛散性 定义 形如的级数叫做交错级数． 定理 如果交错级数满足条件 （1）≥ （2）．则级数收敛，且其和≤. 例1 判定级数的敛散性. 解：是交错级数，因为；，因此级数收敛． 例2 试判定交错级数的敛散性. 解：因为≥0 ， 所以≥ ， 又因为，所以级数收敛． 三 条件收敛与绝对收敛 前面我们讨论了正项级数和交错级数的敛散性，现在讨论任意项级数的敛散性 1 定义 （1）若级数收敛，则称级数为绝对收敛的． （2）若级数发散，而级数收敛，则称级数为条件收敛的． 如 级数是绝对收敛的，而级数是条件收敛的． 2 定理 若级数绝对收敛，则级数必收敛． 例3 判定级数的敛散性. 解：由于≤，而级数是公比为的等比级数， 所以收敛，由此可知，级数收敛． 例4 证明交错级数条件收敛. 证明：易知，级数收敛． 由于级数＝，且有≥， 而级数发散，所以级数也发散， 因此级数条件收敛． 练习 判定下列级数的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛 （1） （2） （3） （4） （5） 小结 判断级数的敛散性，必须把判别定理及级数性质记熟，并分清级数的类别，对不同的级数采用不同的判别法，如正项级数用比较、比值判别法，交错级数用莱布尼茨判别法等． 作业 P