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信号与系统 信号与系统 * 信号与系统 3.4 卷积积分 3.4.1 卷积的计算 卷积的定义: 卷积是计算零输入响应 的基本工具。 方法:解析计算和图形计算 * 信号与系统 【法一:解析计算】 例:已知 试计算 解: 暗含 注意:1、积分上下限问题; 2、积分结果的 始终点问题。 * 信号与系统 【法二:图形法】 步骤: 2、 1、 3、 4、 例:用图形法求解(见黑板) 求: 注意: 1、结果的始点为两信号始点之和,终点为两信号终点之和。 2、方波和方波卷积结果是等腰梯形。 * 信号与系统 2 2 t 1 2 t 1 计算 (练习) * 信号与系统 3.4.2 卷积的性质 1、交换律 等价于 证: * 信号与系统 2、分配律 等价于 证: * 信号与系统 3、结合律 等价于 证: * 信号与系统 4、微分特性 则 5、积分特性 则 * 信号与系统 6、卷积的等效特性 则 * 信号与系统 7、位移特性 证明: 8、展缩特性 证明: * 信号与系统 3.4.3 奇异信号的卷积 2、微分特性 f(t) * ? (t) = f (t) 1、延迟特性 f(t) * ?(t -T) = f(t -T) 应用: 周期延拓 说明:系统函数 ,则系统为微分器 * 信号与系统 3、积分特性 说明:系统函数 ,则系统为积分器 * 信号与系统 例:利用等效特性计算卷积。 计算 (练习) 1 1 t -1 t 1 3 * 信号与系统 [例] 已知某LTI系统的动态方程式为 ’ ’ t0, f(t)=2e-2tu(t),y(0-)=1,y’(0-)=2 试求:(1) 系统的零输入响应yx(t) (2) 系统的零状态响应yf (t) (3) 系统的完全响应y(t) [解] (1) 系统的零输入响应 yx(t) 系统的特征方程为s2+7s+12=0 解得系统的特征根为s1=-3,s2=-4 系统的零输入响应yx(t)=K1e-3t+K2e-4t t≥0-。 * 信号与系统 解得待定系数分别为K1=6, K2=-5 故 yx(t)=6e-3t -5e-4t t≥0-。 代入系统的初始状态y(0-),y(0-) 有y(0-)=K1+K2=1 y(0-)= -3K1-4K2=2 先求出冲激响应 h(t)=[-3e-3t+5e-4t]u(t) (3) 系统的零状态响应yf (t) (见前一次的课件) * 信号与系统 (4) 系统的完全响应y(t) 注意:系统响应时间范围的表示 零输入响应yx(t),t≥0-。 零状态响应yf (t),用u(t)表示(t0)。 完全响应y(t),取两者公共部分t0。 * 信号与系统 【卷积法求解系统响应小结】 (1)根据系统动态方程所对应的齐次方程式求系统的特征根; (2)根据系统特征根设系统零输入响应yx(t)的形式; (3)由系统初始状态求出yx(t)中的待定系数,从而解得零输入响应yx(t) ; (4)求系统的冲激响应h(t); (5)由输入激励f (t)与冲激响应δ(t)的卷积,得到系统的零状态响应yf (t)。 谢谢! 信号与系统 信号与系统
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