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PAGE 3 PAGE 1 《数学》（八年级上册）知识点总结 第十六章 二次根式 一、二次根式计算 1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2、性质： （1） （2） （3） （） （4） （） 3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：。(字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号） 4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数都为1；⑵被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。 将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况： ⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化； ⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。 化二次根式为最简二次根式的步骤： ⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外； ⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。 5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。例：、、。（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同） 6、二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并） 7、二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）。 8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算叫做分母有理化。 一元二次方程 定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。 一般式： 一元二次方程的解法： 开平方法：一般来说，形如、的一元二次方程可以用开平方法。（三种情况：有两个不相等的实数根，等于0,没有实数根） 因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法。 配方法：⑴移常数项；⑵化二次项系数为1；⑶配方，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。 公式法：⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数a、b、c的值（要注意它们的符号）；⑶计算；⑷当时，将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个根；⑸当0时，方程没有实数根，就不必解了。 （开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍的方法，适用任意方程，其中：公式法计算较繁琐。） 一元二次议程根的判别式 定义：叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=。 一元二次方程的根的情况与△的关系： ⑴△=方程有两个不相等的实数根。 ⑵△=方程有两个相等的实数根。 ⑶△=方程没有实数根。 由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根，那么； ⑵注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件。 一元二次议程的应用 二次三项式的概念：形如（a、b、c都不为0）的多项式称为二次三项式。 二次三项式的因式分解： ⑴首先考虑能否提取公因式；⑵能否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。 列一元二次方程解应用题的一般步骤： ⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案 根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件： ⑴方程两边意义相同；⑵方程两边单位一致；⑶方程两边数值相等；⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。 列一元二次方程解题的类型： ⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）； ⑵增长（降低）率问题：如设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后为a(1+x),第二次增长后为a(1+x)2； ⑶利润（销售）问题：常用等量关系有：利润=售价-进价（成本）、总利润=每件的利润×总件数、利润率=、售价=标价×打折数等； 注意：解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。 正比例函数和反比例函数 一、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 （1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 （2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。