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2018-10-13 发布于河北
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11条件数学期望(北大)

4.5 条件期望一. 定义设二维随机变量(X ,Y), 把在X=x条件下Y的条件分布的期望记作mY|X (x)=E(Y|X=x). 称mY|X (X)为Y关于X 的条件期望, 记作E(Y|X). 即 E(Y|X)= mY|X (X) 注意:E(Y|X)是一个随机变量, 它是X 的函数. 类似地, mX |Y(y )=E(X|Y=y ) X 关于Y的条件期望 E(X|Y)= mX |Y(Y) 它是Y的函数. 1 离散型设(X,Y) 的分布律为P {X=a ,Y=b }=p , i,j=1,2,… i j ij 在X=ai (p i•0)条件下Y的条件分布律 P {Y=b |X=a }=p /p , j=1,2,… j i ij i• 在X=ai (p i•0)条件下Y的条件期望 m (a )=Σ b p /p Y|X i j j ij i• Y关于X 的条件期望E(Y|X) 的可能取值为 m (a )=Σ b p /p , i=1,2,… Y|X i j j ij i• 类似地, X 关于Y的条件期望E(X |Y) 的可能取值为 m (b )=Σ a p /p , j =1,2,… X |Y j i i ij •j 2 例1 Y 0 1 2 p i• X 0 0.1 0.2 0.2 0.5 1 0.3 0.1 0.1 0.5 p •j 0.4 0.3 0.3 1.0 X 的条件分布律 X 关于Y条件期望 Y 0 1 2 Y 0 1 2 X 0 1/4 2/3 2/3 E(X |Y) 3/4 1/3 1/3 1 3/4 1/3 1/3 p 0.4 0.3 0.3 E(X |Y) 3/4 1/3 p 0.4 0.6 3 Y 0 1 2 p i• Y的条件分布律 X 0 0.1 0.2 0.2 0.5 Y 0 1 2 X 1 0.3 0.1 0.1 0.5 0 1/5 2/5 2/5 p •j 0.4 0.3 0.3 1.0 1 3/5 1/5