§1.2一维振子响应经典理论.doc

非线性光学 PAGE PAGE 12 §1.2一维振子响应的经典理论 波动方程 在任何介质内电磁场的行为由（1.1-1）描述，在各向同性的均匀电磁介质内，对于无自由电荷的空间区域来说 ▽·D ＝ 0 (1.2-1) 由（1.1-1）中第一，二式，和(1.2-1)式，并设为均匀介质，利用 j = σE D = ε0E + P 得到 ＝ μ0σ μ0ε0 + μ0 (1.2-2) 这就是所要求的电场源P产生的光波电场E随时间、空间变化的波动方程。形式上类似于经典的强迫振动方程，式中右边第一项是阻尼项，第三项是激励项，即电极化强度P作为场的激励源。由它激发电磁场。知道P可以求场E。 下面分别讨论一维振子的线性响应和非线性响应的规律。 一维线性响应 原子中电子作强迫振动，运动方程为 (1.2-3) h-阻尼系数，r-是电子离开其平衡位置的位移，ω0－是振子的固有频率，e-是电子电荷，m-是电子的质量。将r和E按Fourier展开， r(t) = r(ω)exp(-iωt)dω E(t) = E(ω)exp(-iωt)dω (1.2-4) 因为（1.2-3）为线性微分方程，对任何一个频率分量来说 －ω2r(ω) – 2ihωr(ω) + ω02r(ω) = -(e/m)E(ω) 即 r(ω) = -(e/m)E(ω)(1/ω02–ω2–2ihω) (1.2-5) 根据介质电极化强度定义，单位体积内的电偶极矩P(ω)为 P(ω) = -ner(ω) = (ne2/m)E(ω)(1/ω02-ω2-2ihω) (1.2-6) n-单位体积内的振子数。由(1.1-4)可得 (ω) = (P(ω)/ε0E(ω)) = (ne2/ε0m)(1/ω02-ω2-2ihω) (1.2-7) 令F(ω) = (1/ω02-ω2-2ihω) = (1.2-8) (ω) = (ne2/ε0m) F(ω) = (ω) + i (ω) (1.2-9) 式中 (ω) = (ne2/ε0m), (ω) = (ne2/ε0m) (1.2-10) 很明显，线性电极化率的虚部和实部都是ω的函数，如图1－1所示。虚部 (ω)在ω＝ω0处有一个峰值，且具有Lorentz型。很容易求出 (ω)～ω曲线的半宽度为h.而且h也是(ω) 曲线峰值处的频率与 (ω)的中心频率ω0之差。如果频率ω远离共振频率ω0,即如果(ω-ω0)大于几个线宽时，| (ω)| |(ω)|, (ω)可以忽略不计。这表明频率为ω的波在介质中传播时与介质之间没有能量交换，亦即无吸收地传播。 3.一维非线性响应 (1.2-6)为线性微分方程，其解(1.2-8)式与电场E有线性关系，因此不能用来描述非线性效应。若考虑振子恢复力中存在着小的非谐和项时，用 －ω02r + Ar2 + Br3 代替－ω02r时，便可引入非线性电极化强度来讨论非线性情况。式中A,B为非线性效应参数。基本运动方程(1.2-6)为 ω02r –Ar2-Br3 = -(e/m)E (1.2-11) 给定电场E， 可解出r，再由P ＝ -ner,就可以求得电极化强度P 。为简单计只考虑单频场 E ＝ E（ω）exp(-iωt) + E*(ω)exp(iωt). (1.2-12) 由于(1.2-11)是非线性的，求解十分困难，可将r展为密级数形式 (1.2-13) 代入(1.2-11)式后，得到一系列rk所满足的方程。在每个方程中所包含的项，对电场来说都具有相同的阶次。这一系列方程中最低阶次的三个方程是 ω02 = (e/m)[ E（ω）exp(-iωt) + E*(ω)exp(iωt)] (1.2-14)