广东月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线(教师版).doc

广东月考联考模拟经典题分类汇编——圆锥曲线（教师版） 1．已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程； （2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值． 【答案】解:（1）由离心率，得，即. ① ……2分 又点在椭圆上， 即. ② ……4分 解 ①②得， 故所求椭圆方程为. ……5分 由得直线l的方程为. ………6分 （2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形. 设与直线l相切于点T，则由，得，………… 10分 当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得.……………… 12分 因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得.…… 14分 2. 已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点的距离的最小值为，点与点的距离为. (Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程； （Ⅱ）求满足条件的点的轨迹Q的方程； （Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。(4分) （Ⅱ）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，，即，所以，轨迹Q的方程是 (8分) （Ⅲ）由（Ⅱ）得， ，所以过点B的切线的斜率为，切线方程为，令得，令得， 因为点B在上，所以 故， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 设，即得，所以 当时，，当时，， 所以点B的坐标为或. (14分) 3．已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，中心在原点．若右焦点到直线的距离为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围． 【答案】解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点， 由题设，解得，…4分 故所求椭圆的方程为。……………5分 设，P为弦MN的中点， 由 得 ， 直线与椭圆相交， ，① ………8分 ，从而， ，又，则： ，即 ， ②………………………10分 把②代入①得 ，解得 ， …………………………12分 由②得，解得．…… ……………………………13分 综上求得的取值范围是． ………………………………14分 4．（本题满分14分） 已知椭圆:的一个交点为,而且过点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值. 【答案】解法一:由题意得,,解得, 所以椭圆的方程为.………………………………………………4分 解法二:椭圆的两个交点分别为, 由椭圆的定义可得,所以,, 所以椭圆的方程为.………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知,设, 直线:,令,得; 直线:,令,得; 设圆的圆心为, 则, 而,所以,所以, 所以,即线段的长度为定值.…………………………………………14分 解法二:由（Ⅰ）可知,设, 直线:,令,得; 直线:,令,得; 则,而,所以, 所以,由切割线定理得 所以,即线段的长度为定值.…………………………………………14分 5．(本小题满分14分)设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,. （1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系； （2）求证：直线恒过定点； （3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由. 【答案】解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得， 令，解得， 代入方程得，故得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为到的中点的距离为， 从而过三点的圆的方程为． 易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得 ，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．5分 从而过抛物线上点的切线方程为即 又切线过点，所以得 ①