树的Laplace矩阵的最大和次大特征值-上海交通大学数学系.PDF

第28 卷第5 期 中 　国 　科 　学 　技 　术 　大 　学 　学 　报 Vol. 28 ,No. 5 1 9 9 8 年 1 0 月 JOURNAL OF CHINA UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Oct . 1 9 9 8 树的 La place 矩阵的最大和次大特征值 张晓东 　李炯生 ( ) 中国科学技术大学数学系 摘要 　给出仅依赖阶数的树的 Laplace 矩阵的最大和次大特征值的上界 ,并刻划达 到上界的极图. 关键词 　树 ,Laplace 矩阵 ,特征值 ,线图 中图法分类号 　O157. 15 AMS Subject Classif ication( 1991) 　05C50 1 　引言 设 n 阶简单图 G = ( V , E) 的顶点集为 V = { v , v , …, v } , v 的度为 d , i = 1 , 2 , …, 1 2 n i i π( ) ( ) ( ) ( n , d 1 d2 … d n , G 的度序列为 G = d 1 , d2 , …, d n . 记 D G = diag d 1 , d2 , …, ) ( ) ( ) ( ) ( ) d n 和 A G 分别为 G 的度对角矩阵和邻接矩阵, 则 L G = D G - A G 为 G 的 λ( ) λ( ) λ ( ) λ( ) Laplace 矩阵, 其特征值可记为 1 G 2 G … n - 1 G n G = 0 . 近年来, 许多 ( ) 学者研究图的 Laplace 矩阵的谱 简称 Laplace 谱 与图的不变量的联系 , 图的Laplace 谱在 物理和化学等学科有着广泛应用[1 ] . Grone , Merris 和 Sunder[2 ] 对树的 Laplace 谱作了深入 研究. 但对树的 Laplace 矩阵的最大特征值给出仅依赖阶数的估计则较少[1 ] . 本文主要给出 仅依赖阶数的树的 Laplace 矩阵的最大和次大特征值的上界, 并刻划达到上界的极图. 为方 便起见, 记顶点 v 与s 个度为 1 的顶点相邻的图是图 1. ( [ 3]) π( ) 定理 1. 1 Anderson 和 Morley 　设 G 的度序列为 G = ( ) λ( ) d 1 , d2 , …, d n , 则 1 G d 1 + d2 . ( [ 4]) π( ) ( 定理 1. 2