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全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形综合应用 知识点: 全等三角形的判定方法: 角平分线的性质与判定: 例题讲解 2016武汉江汉区压轴题.(本题12分)△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是△ABC的中线,以AC为边作等边△ACE,BE分别与直线AD、AC交于点F、G,连接CF (1) ① 如图1,若△ABC、△ACE位于AC异侧,求∠EFC的度数 ② 试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系,并说明理由 (2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧,试完成备用图,并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系 解:(1) ① ∵AB=AE,∴设∠ABE=∠AEB=α ∵AB=AC,AD是△ABC的中线 ∴设∠BAD=∠CAD=β 又2α+2β+60°=180°,α+β=60° ∴∠AFE=∠DFC=α+β=60° ∴∠EFC=180°-60°-60°=60° ② 过点C作CH⊥BE于H ∵∠AEB+∠AEC=60°,∠ABE+∠BAD=60° ∴∠BAD=∠HEC 可证:△ABD≌△EHC(AAS) ∴HE=AD 易证:△CFH≌△CFD(AAS) ∴FH=DF ∴EF-FH=AF-DF 即EF-AF=2DF (3) 作图、证明的过程一样 AF-EF=2DF 2016武珞路中学.(本题10分)已知等边三角形ABC,M为AB上的一点,以CM为边作等边△CMN,连接BN (1) 求证:AM=BN (2) 作MH⊥BC于H,连接AH.若AH∥MN,AM=1,求CH的长 证明:(1) △ACM≌△BCN(SAS) (2) 由(1)知:△ACM≌△BCN ∴∠CBN=∠MAC=60° ∴∠MBN=60°+60°=120 过点M作MD∥BC交AC于D ∴△AMD为等边三角形 ∴AM=AD=BN,∠ADM=60° ∴BM=CD,∠MDC=120° 在△BMN和△DCM中 ∴△BMN≌△DCM(SAS) ∴∠BMN=∠DCM ∵AH∥MN ∴∠BMN=∠BAH=∠DCM 在△BAH和△ACM中 ∴△BAH≌△ACM(ASA) ∴BH=AM=1 ∴BM=HC ∵MH⊥BC,∠MBH=60° ∴BM=2BH=2 ∴CH=2 2016武珞路中学.(本题10分)如图1,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F (1) 若AF=10,DF=3,试求EF的长 (2) 若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不改变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),找出EF、AF、DF三者的数量关系,并证明你的结论 .解:(1) 设∠BAD=∠CAD=α,∠AEC=∠ACE=β 在△ACE中,2α+60+2β=180°,α+β=60° 连接BF ∴∠BFD=∠CFD=60° ∴BF=CF=2DF=6 在EC上截取EG=CF,连接AG ∴△AEG≌△ACF(SAS) ∴∠EAG=∠CAF,AG=AF ∴∠GAF=60° ∴△AFG为等边三角形 ∴EF=EG+GF=AF+FC=10+6=16 (2) 尺规作图:先作AB的垂直平分线,再利用半径得到等边 设∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β ∴∠CAE=180°-2β ∴∠BAE=2α+180-2β=60°,β-α=60° ∴∠BAD=∠BEF 在AF上截取AG=EF,连接BG 可知:△ABG≌△EBF(SAS) ∴AG=EF,BG=BF ∴△BFG为等边三角形 ∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF 武汉二中广雅中学2016.(本题12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0<α<60°),以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC (1) 如图1,∠ABD=_______(用含α的式子表示) (2) 如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明 (3) 在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值 例1、(1)在⊿ABC中,∠B=∠C,与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°,那么⊿ABC中与这个角对应的角是( )A、∠A B、∠B

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