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全等三角形拓展题---尖子生专用
全等三角形综合应用
知识点:
全等三角形的判定方法:
角平分线的性质与判定:
例题讲解
2016武汉江汉区压轴题.(本题12分)△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是△ABC的中线,以AC为边作等边△ACE,BE分别与直线AD、AC交于点F、G,连接CF
(1) ① 如图1,若△ABC、△ACE位于AC异侧,求∠EFC的度数
② 试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系,并说明理由
(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧,试完成备用图,并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系
解:(1) ① ∵AB=AE,∴设∠ABE=∠AEB=α
∵AB=AC,AD是△ABC的中线
∴设∠BAD=∠CAD=β
又2α+2β+60°=180°,α+β=60°
∴∠AFE=∠DFC=α+β=60°
∴∠EFC=180°-60°-60°=60°
② 过点C作CH⊥BE于H
∵∠AEB+∠AEC=60°,∠ABE+∠BAD=60°
∴∠BAD=∠HEC
可证:△ABD≌△EHC(AAS)
∴HE=AD
易证:△CFH≌△CFD(AAS)
∴FH=DF
∴EF-FH=AF-DF
即EF-AF=2DF
(3) 作图、证明的过程一样
AF-EF=2DF
2016武珞路中学.(本题10分)已知等边三角形ABC,M为AB上的一点,以CM为边作等边△CMN,连接BN
(1) 求证:AM=BN
(2) 作MH⊥BC于H,连接AH.若AH∥MN,AM=1,求CH的长
证明:(1) △ACM≌△BCN(SAS)
(2) 由(1)知:△ACM≌△BCN
∴∠CBN=∠MAC=60°
∴∠MBN=60°+60°=120
过点M作MD∥BC交AC于D
∴△AMD为等边三角形
∴AM=AD=BN,∠ADM=60°
∴BM=CD,∠MDC=120°
在△BMN和△DCM中
∴△BMN≌△DCM(SAS)
∴∠BMN=∠DCM
∵AH∥MN
∴∠BMN=∠BAH=∠DCM
在△BAH和△ACM中
∴△BAH≌△ACM(ASA)
∴BH=AM=1
∴BM=HC
∵MH⊥BC,∠MBH=60°
∴BM=2BH=2
∴CH=2
2016武珞路中学.(本题10分)如图1,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,以AB为边向外作等边△ABE,直线CE与直线AD交于点F
(1) 若AF=10,DF=3,试求EF的长
(2) 若以AB为边向内作等边△ABE,其它条件均不改变,请用尺规作图补全图2(保留作图痕迹),找出EF、AF、DF三者的数量关系,并证明你的结论
.解:(1) 设∠BAD=∠CAD=α,∠AEC=∠ACE=β
在△ACE中,2α+60+2β=180°,α+β=60°
连接BF
∴∠BFD=∠CFD=60°
∴BF=CF=2DF=6
在EC上截取EG=CF,连接AG
∴△AEG≌△ACF(SAS)
∴∠EAG=∠CAF,AG=AF
∴∠GAF=60°
∴△AFG为等边三角形
∴EF=EG+GF=AF+FC=10+6=16
(2) 尺规作图:先作AB的垂直平分线,再利用半径得到等边
设∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β
∴∠CAE=180°-2β
∴∠BAE=2α+180-2β=60°,β-α=60°
∴∠BAD=∠BEF
在AF上截取AG=EF,连接BG
可知:△ABG≌△EBF(SAS)
∴AG=EF,BG=BF
∴△BFG为等边三角形
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF
武汉二中广雅中学2016.(本题12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0<α<60°),以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC
(1) 如图1,∠ABD=_______(用含α的式子表示)
(2) 如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明
(3) 在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值
例1、(1)在⊿ABC中,∠B=∠C,与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°,那么⊿ABC中与这个角对应的角是( )A、∠A B、∠B
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