椭圆双曲线的离心率取值范围求解方法.doc

椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法 一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立） 例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+) D. 【解析】，，（当且仅当三点共线等号成立）,选B 例2、如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A． B． C． D． [解析]设，由题意及椭圆第二定义可知 （当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系 例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．　 Ｂ． Ｃ．　　 Ｄ． 【解析】设，，当点在右顶点处， ．． 三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系 例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B. C.(3,+) D. 解：,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知，又,选B 例2．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。解：由题意得因为，所以，从而?，。又因为P在右支上，所以。? 。。 例3．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|＝ w |PF|∈[a－c,a＋c] 于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴? m又e∈(0,1)故e∈ 答案：D 例4、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【解析】（由正弦定理得），，． 又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得． 例5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2 即c2≥a2-c2 四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系 例1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（　）Ａ．　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ． 【解析】 而双曲线的离心率， 例2、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。 解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。 归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。 例2． 设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解析1：设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解析2：由焦半径公式得 例3已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围． 解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a, 0＜y0≤b．∵A（a，0），B（a，0），∴=，=． ∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-，又tan∠APB==，∴=，……① 而点P在椭圆上，∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得 y0=．∵0＜y0≤b，∴0＜≤b． ∵a＞b＞0，∴2ab≤（a2-b2），即4 a2b2≤3 c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e＜1，可解得≤e＜1． 四、利用判别式建立不等关系 例1、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。 解：由椭圆定义知 例2、已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。 解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。五、利用均值不等式建立不等关系 例1、已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°则椭圆离心率e的取值范围 ； 解：设|PF1|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义