第五章-微分方程.docVIP

PAGE PAGE 4 第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设是定义在区间内的函数，若存在两个不全为零的数，使得对于区间内的任一，恒有 成立，则称函数在区间内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数线性相关的充分必要条件是在区间内恒为常数. 如果不恒为常数，则在区间内线性无关. 独立的任意常数： 在表达式 (,为任意常数) 中, ,为独立的任意常数的充分必要条件为,线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是的函数，另一个仅是的函数，即分别是变量的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 ， 第二步:两边积分 . 【例1】求微分方程的通解. 解 先合并及的各项,得 设分离变量得 两端积分得 于是 记则得到题设方程的通解 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解中. 【例2】 已知 当时，求 解 设则 所以原方程变为即 所以 故 第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程 定义 ： 形如 . 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中都是的已知连续函数，“线性”是指未知函数和它的导数都是一次的. 求解方法 ： 一阶线性微分方程的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程所对应的齐次线性微分方程的通解. 第二步：设为一阶线性微分方程的解,代入该方程后,求出待定函数. 第三步: 将代入中,得所求一阶线性微分方程的通解. 注：只要一阶线性微分方程是的标准形式,则将代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有 , 该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程的求解公式： (其中为任意常数). 【例1】 求微分方程 满足条件的特解. 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 ， 两边积分，得 ， 求积分得 ，， ，， 记 ，得方程的解 . 可以验证 时，，它们也是原方程的解，因此，式中的 可以为任意常数，所以原方程的通解为 （为任意常数）. 代入初始条件 得 ，所以特解为 . 【例2】 求微分方程（1），（2） 的通解. （1）解一 原方程可化为 ，令 ， 则 ，即 ，两边取积分 ， 积分得 ，将代入原方程，整理得原方程的通解为 （为任意常数）. 解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 ，得其通解为 . 设为原方程的解，代入原方程，化简得 ，， 所以原方程的通解为 ，即 （为任意常数）. （2）解一 原方程对应的齐次方程 分离变量，得，， 两边积分，得，， ，， 用常数变易法.设代入原方程，得 ，， ， 故原方程的通解为 （为任意常数）. 解二 这里，代入通解的公式得 ===（为任意常数）. 小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 ，也可直接利用公式 ）求通解. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 定义：　 形如 的微分方程（其中均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程.