数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲-圆与圆.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 2 第20讲 圆与圆 知识纵横 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法： 通过两圆交点的个数确定； 通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。 例题求解 【例1】如图，相距的两点、在直线上，它们分别以的速度在上同时向右平移，当点、分别平移到点、的位置时，半径为的与半径为的相切，则点平移到点所用的时间为__________. （2011年嵊州市中考题） 思路点拨 两个动圆，移动圆心，的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。 【例2】如图，圆心为、、的三圆彼此相切，且均与直线相切。若的半径分别为，则一定满足的关系式为（ ）。 （天津市竞赛题） 思路点拨 从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。 【例3】如图①，在矩形中，，点从开始沿折线一以的速度移动，点从开始沿边以的速度移动。如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为。 为何值时，四边形为矩形？ 如图②，的半径都是，那么为何值时，相外切？ （南京市中考题） 思路点拨 对于（1），把相关线段用的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。 【例4】已知与相交于，且的半径为，的半径为 过点作分别交和于两点，连接，如图①，试求的值； 过点任画一条直线分别交与于，连接和，如图②，试求的值。 （巴中市中考题） 思路点拨 对于（2），应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。 【例5】如图，是半径为1的单位圆的四分之一，半圆在上并与弧内切于点，半圆的圆心在上，并与弧内切于，半圆与半圆相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为。 试建立以为自变量的函数的解析式； 求函数的最小值。 （太原市竞赛题） 分析 设两圆、半径分别为、，对于（1），通过变性把用的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出的取值范围。 化繁为简 【例6】如图，圆、的半径都为1，且相互外切。圆的半径都为,且圆与圆、、、都分别外切，圆与圆都分别外切，圆与圆都分别外切，求的值。 （2011年青少年数学国际城市邀请赛试题） 分析与解 连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接，设、相切于，则，即，解得（负值已舍去）。 学力训练 基础夯实 的半径为,点是外一点，则以为圆心且与相切的圆的半径是 （长春市中考题） 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为和，则它们与墙的切点、间的距离为 。 （绍兴市中考题） 如图，大圆的半径是小圆的直径，且有垂直于圆的直径，的切线交的延长线于点，切点为，已知的半径为，则 ； 。 （杭州市中考题） 如图①，为四个等圆的圆心，为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． （天津市中考题） 第4题 第5题 第4题 第5题 如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是 ． 如图，、外切于点，半径分别为、，为延长线上一点，作直线分别于、相切于、两点，则的度数为（ ）。 (武汉市高考题) 如图，正方形中，是边上一点，以为圆心，为半径的半圆与以为圆心、为半径的圆弧外切，则的值为（ ） (湖州市中考题) 两圆的半径分式和，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ） 一定内切 B.一定外切 C.相交 D.内切或外切 如图，与相交于、两点，经过圆心，点是的优弧上任意一点，（