7-4(2015年)积分与路径无关.pptVIP

1. P212,4(2) 思考题: (单元检测题) 例5： 验证 在右半平面(x0)上是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。 由于上式在整个平面上除原点外均成立，故 在右半平面上是某一函数的全微分； 解： 且 如图所示, 取积分路径， O (x，0) (x，y) 1 例5 设函数 具有连续的导数，且 ， 试确定 使方程 为全微分方程，并求其通解。 解： 要使方程为全微分方程，只需 即： 又 ，从而C= -2， 代入原方程得全微分方程： (见P203例7) 于是 则方程的通解： O (x，0) (x，y) §7.5 场论初步 场 向量场的通量与散度 向量场的环流量与旋度 * 一般地，第二类曲线积分值是与积分曲线L有关的， 具体是指： 1. 积分曲线的起点与终点； 2. 积分曲线的路径（形状）； 但个别第二类曲线积分只与起点和终点有关， 而与积分路径无关。 引例. 计算 ，其中L为: (1) 从点O(0，0)沿上半圆x2 +y2 =2x到点A(2，0)。 从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。 (3) 从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。 y x o B A 1 2 可以算得: 注意：被积函数相同，起点和终点也相同， 路径不同而积分结果相同!. 第二类曲线积分与路径无关？ 四、全微分方程 一、曲线积分与路径无关的定义 二、平面曲线积分与路径无关的条件 三、求原函数 一、曲线积分与路径无关的定义 设D是平面开区域，函数P(x,y)、 Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数. 如果D内任意两个指定点A, B, 以及在D内从点A到点B的 任意两条有向曲线L1，L2 , 成立， 则称曲线积分 在D内与路径无关, 问题：在什么条件下，第二类曲线积分与积分路径无关？ 恒有： 定理1 设D为平面内的单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D上有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价， 二 平面曲线积分与路径无关的条件 (1) 沿D内任一闭曲线L，有 (2) 在D内与积分路径无关； (3) P(x，y)dx+Q(x，y)dy在D内是某一函数u(x，y)的全微分， (4) 在D内每一点满足 即du(x，y)= P(x，y)dx+Q(x，y)dy. 1. 选取 为积分路径： 求函数 方法： （M0(x0,y0)为定点，M(x,y)为任意点, Y X 且积分与路径无关！） 2. 选取 为积分路径： Y X 1、 在D内与积分路径无关 2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D内某一函数u(x，y)的全微分， 即du(x，y)= P(x，y)dx+Q(x，y)dy. 由定理1知： （两个常用结论） 设D为单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D内有连续的一阶偏导数， （称 u(x,y) 为P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个原函数） 引例. 计算 ，其中L为: (1) 从点O(0，0)沿上半圆x2 +y2 =2x到点A(2，0)。 从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。 (3) 从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。 y x o B A 1 2 可以算得: 所以该积分与路径无关 例 1 计算： 解： O 1 2 (2，1) 由于 在整个平面(单连通区域)上均成立，则此积分 与路径无关， 故可如图选取路径： 例2： 求 ，其中L: x2 + xy + y2 =1 为逆时针方向 由