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《常微分方程》复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺 《常微分方程》复习资料 dy 1．（变量分离方程）形如 f (x )(y ) （1.1）的方程，称为变量分离方程，这里f (x ),(y ) 分别是x , y 的连续函数． dx dy 解法：（1）分离变量，当(y ) 0 时，将（1.1）写成 f (x )dx ，这样变量就“分离”了； (y ) dy （2 ）两边积分得 f (x )dx c （1.2），由（1.2）所确定的函数y (x ,c ) 就为（1.1）的解． (y ) 注：若存在y 0 ，使(y 0 ) 0 ，则y y 0 也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． dy y 2 ．（齐次方程）形如 g ( ) 的方程称为齐次方程，这里g (u ) 是u 的连续函数． dx x y du g (u) u dy du 解法：（1）作变量代换（引入新变量）u ，方程化为 ，（这里由于 x u ）； x dx x dx dx （2 ）解以上的分离变量方程； （3 ）变量还原． dy a(x) b(x) y c(x) 0 在a(x) 0 的区间上可写成 3 ．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程 dx dy P (x )y Q (x ) （3.1 ），这里假设P (x ),Q (x ) 在考虑的区间上是x 的连续函数．若Q(x) 0 ，则（3.1 ）变为 dx dy P (x )y （3.2 ），（3.2 ）称为一阶齐次线性方程．若Q(x) 0 ，则（3.1 ）称为一阶非齐次线性方程． dx 解法：（1）解对应的齐次方程dy P (x )y ，得对应齐次方程解y cep (x ) dx ，c 为任意常数； dx （2 ）常数变异法求解（将常数 变为 p (x )dx c x 的待定函数c(x) ，使它为（3.1 ）的解）：令y c (x )e 为（3.1）的 dy dc(x) p (x )dx p (x )dx dc(x )  p