数学建模第二次作业（三）.docVIP

数 学 建 模 任意两个城市之间的最廉价路线 参与人员信息 ： 2012 年 6 月 6 日 一、问题提出 某公司在六个城市C1、C2、C3、C4、C5、C6中都有分公司，从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行、第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表，试做出这样的表来。 0 50 ∞ 40 25 10 50 0 15 20 ∞ 25 ∞ 15 0 10 20 ∞ 40 20 10 0 10 25 25 ∞ 20 10 0 55 10 25 ∞ 25 55 0 二 、问题分析 若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题———求图中所有的最短路径。 题中要求算出一张任意城市间的最廉价路线表，属于全局最短路问题，并且使得该公司总经理能够与各个子公司之间自由往返。（此两点为主要约束条件） Floyd算法，具体原理如下： 我们确定本题为全局最短路问题，并采用求距离矩阵的方法 根据路线及票价表建立带权矩阵，并把带权邻接矩阵我w作为距离矩阵的初始值，即 （2）求路径矩阵的方法 在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵，，的含义是从到的最短路径要经过点号为的点。 （3）查找最短路径的方法 若，则点是点到的最短距离的中间点，然后用同样的方法再分头查找。 三、 模型假设： 1.各城市间的飞机线路固定不变 2.各城市间飞机线路的票价不改变 3.忽略乘客除票价以外的各项开销费用 4.不考虑雷雨云、低云、大风、雷暴、冰雹等主要天气因素对飞行的影响。 模型建立 建立带权邻接矩阵： 根据飞机路线及票价表建立带权邻接矩阵， 在带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次构造出 6 个矩阵。 采用floyd算法步骤为: :到的最短距离 ：到之间的插入点 输入带权邻接距阵 赋初值：对所有 更新,:对所有,若，则 ,. 若,停止；否则，转（2）. 运行程序得： D (1) D (2) 、 D(3)、 D (4) 、 D（ 5）、 D（6）， 使最后得到的矩阵 D ( 6 ) 为飞机的最廉价矩阵。 模型求解结果 根据模型求解，分析得出任意两个城市之间最廉价线路及票价为： C1→C2: 1→6→2；35 C1→C3:1→5→3,1→6→4→3;45 C1→C4:1→6→4，1→5→4﹔35 C1→C5∶1→5﹔25 C1→C6:1→6﹔10 C2→C3∶2→3﹔15 C2→C4∶2→4﹔20 C2→C5∶2→4→5﹔30 C2→C6∶2→5﹔25 C3→C4∶3→4﹔10 C3→C5∶3→5∶3→4→5﹔20 C3→C6∶3→4→6﹔35 C4→C5∶4→5﹔10 C4→C6∶4→6﹔25 C5→C6∶5→4→6﹔35