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导数在不等式证明中的应用-
【标题】导数在不等式证明中的应用
【作者】龙 定 洪
【关键词】?导数???应用??不等式??辅助函数??证明
【指导老师】金茂明
【专业】数学与应用数学
【正文】1、 引言与预备知识:引???言:在证明不等式时,通常采用的是用初等方法的证明,而当我们遇到用常规方法很难直接证明的不等式时该怎么办呢?在我们学习了导数后,能否绕过这个障碍,利用导数对其求证?故本文重点探讨怎样利用导数去证明不等式,在证明过程中我们会感受到此种方法的简捷性.此种方法体现了高等师范院校的毕业生对所学高等数学知识在初等数学中的应用,同时,它对中学数学教师和即将跨入大学的高中生也有一定的帮助.下面我们就应用导数证明不等式的方法进行以下几个方面的探讨,介绍具体的证明思路与方法.预备知识:为了探讨导数在不等式证明中的应用,则需给出以下相关的理论知识:拉格朗日(Lagrange)中值定理、利用导数判断函数单调性定理、极值第一充分条件、极值第二充分条件、最值第一充分条件、最值第二充分条件、最值第三充分条件、凹凸函数定义、詹森(Jensen)不等式定理.(以上某些定理及概念见参考文献[1]、[2]、[6].)2、?导数在不等式证明中的应用2.1?应用拉格朗日(Lagrange)中值定理证明不等式2.1.1?拉格朗日(Lagrange)中值定理:设函数?在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)可导,则至少存在一点?,使得:?.拉格朗日中值定理是微积分中最重要的定理之一,也称为微积分中值定理,它是沟通函数与其导数的桥梁,是应用导数研究函数性质的重要数学工具,下面我们就应用它来证明不等式.2.1.2证明不等式:???证明思路:由待证不等式建立函数式,应用拉格朗日中值定理得到等式,再消去?证明不等式成立.例1 ??证明:当?时,?.?????证:设?,?在?上满足拉格朗日中值定理的条件,所以,存在?使得:?即:?.再由?得?.例2 证明?.???证明:由拉格朗日中值定理得:?因为?在?与?之间,且?,所以??????.小结:用拉格朗日中值定理证明不等式,一般具有以下特点:不等式同解变形后,一端可以转化为同一个函数值之差,比如:?,另一端有?的因式.2.2用函数的单调性证明不等式回忆一下,例如,函数单调递增的定义:如果?,有?,则称?在(a, b)上递增;如果其中的不等号是严格不等号,则称函数严格单调递增.2.2.1:利用导数来研究函数的单调性:设函数?在闭区间[a, b]上连续,在开区间?上可导,设曲线?在其上每一点都存在切线,若切线与?轴正方向的夹角都是锐角,即切线斜率?,则曲线?必严格单增(如图1);若切线与?轴正方向的夹角是钝角,即切线斜率?,则曲线?必严格单减(如图2),由此可见,应用导数的符号能够判别函数的单调性.??? Y???????????????????????????????????????????? Y??????????????????????????????? B???????????????????????????? A??????? A?????????????????????????????????????????????????????????? B?? O??? a?????????????? b?? X???????????????????? O?? a????????????? b??????? X?????图1:函数单调上升??????????????????????????????图2:函数单调下降定理1:设函数?在?内可导,?(1)若?时,??则函数?在?内严格单调递增;(2)若?时,?,则函数?在?内严格单调递减.2.2.2:应用此定理来证明不等式:证明思路:由特征不等式建立函数,通过求导应用定理判定函数单调性,再由单调性证明不等式成立.例3:(2001年高考题)已知,?是正整数,且?,证明:??????????????????????????分析:要证?,两边取对数后只需要证??,即证?,由于上式两端分别为函数?,在点?处的函数值,且依题意有:?,于是构造函数?,即只需要证明?在?是递减函数.?,当?时,?所以?从而?在?上是递减,故结论获证.证明:在?两边取自然对数,?只要证???????????????????????????,即:?构造函数?,求导得:?,于是?在?上是减函数,由?知:?,即:?,所以:?.例4:证明:当?时,有?,而且等号成立当且仅当?.证明:当?时,不等式显然成立,因此只需要证明当?且?,不等式是严格不等式,令?则?,??当?时,?因此?严格递
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