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2014年初中数学奥赛专题复习-知识梳理例题精讲-第十讲-因式分解、分式和根式
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因式分解、分式和根式
【知识梳理】
一、因式分解:
1、常用的公式:
平方差公式:;
完全平方公式:;
;
;
;
立方和(差)公式:;
;
2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到,我们应熟悉以下的常用结果:
;
;
;
;
;
。
二、分式:
1、分式的意义
形如(为整式),其中B中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时,分式的值为零,而当分母为零时,分式没有意义。
2、分式的性质
分式的基本性质:
(其中M是不为零的整式)。
分式的符号法则:
分子、分母与分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。
倒数的性质:
;若,则(,是整数);
。
3、分式的运算
分式的运算法则有:;
(是正整数)。
4、分式的变形
分式的基本性质是分式变形的理论根据之一,分式变形的常用方法有:设参法(主要用于连比式或连等式),拆项法(即分离变形),因式分解法,分组通分法和换元法等。
三、二次根式:
1、当时,称为二次根式,显然。
2、二次根式具有如下性质:
(1); (2)
(3); (4)。
3、二次根式的运算法则如下:
(1);
(2)。
4、设,且不是完全平方数,则当且仅当时,
。
【例题精讲】
【例1】分解因式:
【巩固】分解因式:
1、; 2、;
【例2】已知是一个三角形的三边,则的值是( )
A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负
3、为何值时,多项式能分解成两个一次因式的积?
【例3】已知是实数,且,问之间有怎样的关系?请推导。
【专题训练】
1、已知,求的值为_____________;
2、多项式的一个因式是,试确定的值为_____________;
3、设,求的值。
4、若,且设,则___________
5、已知,,,则_______________;
6、已知,,,且,则
______________________
7、当变化时,分式的最小值为______________
8、设,则____________________;
9、已知实数满足,则__________________;
10、化简____________________;
11、已知,则__________________
12、设的整数部分为,小数部分为,则_____________;
13、设等式在实数范围内成立,其中两两不同,则__________________;
14、使等式成立的整数对的个数为__________________;
15、设正整数满足,则这样的的取值有______组;
16、求和:
17、已知,化简。
18、若,计算的值。
19、计算:
20、设,它的小数部分为P,求的值。
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