§4.5范例1估计水塔水流量.doc

§4．5 范例1：估计水塔的水流量 4．5。1 问题 某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10 可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录（表4．2中用符号／／表示） 试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量和水泵工作功率． 4．5．2 问题分析与数据处理 由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题． ************************************************************************* 想：还有其他解决该问题的思路吗？如何实现？是否更好？ ************************************************************************* 1．假设 1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响． 2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时 3）水塔为标准圆柱体． 考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出 4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．8 3 9，22．95 8］． 2．体积计算 水塔是一个圆柱体，体积为．其中D为底面直径，h为水位高度。近似地取。得到不同时刻水塔中水的体积如表4.3 ? ? 3．水流速度的估算 水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即 具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商． 中心差商公式 向前和向后差商公式 ************************************************************************* 想： 1）在估算流速的时候，为什么要如此麻烦，分成三段分别处理？ 2）就一段估算流速合理吗？ 3）还有其他估算流速的方法吗？ ************************************************************************* ? 4．5．3 模型建立与求解 1．作出水流速散点图 键人： plot(t,r,’b+’); % （t，r）表示时间和流速，如表4．4 title（’流速散点图’）；xlabel（’时间（小时）’）；ylabel（’流速(立方米／小时)’） 作出的散点图如图4．2所示． 流速散点图 ? 2．模型及计算结果 问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。三次样条插值等等． ************************************************************************* 想： 1)????? 如果采用多项式函数做拟合，选择几次的多项式函数？ 2)????? 多项式函数拟合模型与多项式插值模型，思想有何异同，结果有何差异？ ************************************************************************* 通过对不同插值方法的比较，结合假设，考虑到流速应该是时间的连续光滑函数，下面采用