第三章-导数的应用.docVIP

《高等数学》（微积分）教案 第 PAGE 24 页 共 NUMPAGES 24 页 【教学内容】§3.1 微分中值定理 洛必塔法则 【教学目的】通过学习，使学生了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，使学生掌握洛必塔法则 【教学重点】微分中值定理 洛必塔法则及其应用 【教学难点】定理的应用 洛必达法则的应用 【教学时数】4学时 【教学过程】 一、组织教学，引入新课 本章将在导数概念的基础上建立微分学中一些基本定理——中值定理，利用这些定理使我们可以应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并应用这些知识解决一些实际问题。 如果当时,和都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，通常称这类极限为待定型，并分别简记为型或型.下面我们将讨论一种求待定型极限的方法——洛必塔法则. 二、讲授新课 （一）罗尔定理 1、定理：若函数满足下列条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3） 则在内至少存在一点使得 2、定理的几何意义 如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于轴的切线。 说明：（1）定理中的不唯一 （2）定理中的 三个条件是充分但不必要的 （2）若定理的三个条件不全满足的话，则定理的结论也可能成立，也可能不成立. 【例1】验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件，并求出满足 的点。 解：由于在内连续且可导， 故它在上连续， 在内可导， ，即 因此，满足罗尔定理的三个条件。 而，令得。 即时 （二）拉格朗日中值定理 1、定理 如果函数满足 （1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点 (a?b), 使得 证明：作一个辅助函数： 显然，在上连续，在上可导， 又， 所以 由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得。 又 所以 或 。 说明：（1）罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例 （2）设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上 应用拉格朗日中值定理，有 即，准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定 理又称为微分中值定理。 2、定理的几何意义: 若函数在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.则在(a, b)内至少有一点?，曲线在该点的切线斜率与弦AB的斜率相等，即. 3、拉格朗日中值定理的推论. 推论：如果在开区间(a, b)内，恒有,则在(a, b)内恒等于常数. 证明：在中任取两点、，使， 则在区间上，满足拉格朗日中值定理的条件. 从而存在一点，使得 又在上，，则。 所以，即. 可见，在上的每一点都有：. 【例2】 验证函数在区间[0,2]是否满足拉格朗日定理的条件， 若满足，求出使定理成立的的值 解： 显然在区间[0,2]上连续，在(0,2)内可导，定理条件满足. 又，所以有 又 代入上式得. 【例3】若函数在内具有二阶导数，且，其中 ，证明在内至少有一点，使得. 【例4】证明（）. 证明：令，， 由推论知，由得，。 （三）洛必塔法则 定理；设函数和满足： (1) 当时和的极限为0； (2) 在点的某个去心邻域内,及都存在，且； (3) 存在(或为). 则 说明：(1)若时, 仍为型，且仍满足条件,则可继续使用 (2)对于时的型及或时的型，也有相应的洛必塔法则. (3)适用于型、型、型、型、型、型及型 (4)若不存在或使用几次后出现循环，则不可使用该法则 （四）洛必塔法则应用 1、型及型 【例1】 求 解: 所求极限为型，由洛必达法则得 . 【例2】 求 解: 所求极限为型，由洛必达法则得 = = =2+1=3 注1：运用洛必达法则时，能简化的要进行简化，每次应用前要检查是否仍为待定型. 【例3】 求 解: = = = 【例4】求 解: 所求极限为型，运用罗必达法则得 不存在，但不能因此认为原极限一定不存在. 事实上 注2：并不是型都能使用洛必达法则求极限 【例5】 求 解: 所求极限为型，由洛必达法则得 【例6】 求 解: 所求极限为型，由洛必达法则得 2、其它待定型（） 它们总可以通过适当的变换为型或型，然后再运用洛必达法则. （1）型 【例7】 求 解： 所求极限为型,故可化为: