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九年级二次函数培优竞赛试题及答案
九年级二次函数培优竞赛试题及答案
1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=-eq \f(1,4)x2+ax+4经过点C.
①求抛物线的解析式;
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;
(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.
1.【解析】
试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;
(2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式;
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑:(i)A为直角顶点,过A作AP1垂直于AB,且AP1=AB,过P1作P1M垂直于x轴,如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP1,利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等,得出AP1与P1M的长,再由P1为第二象限的点,得出此时P1的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B作BP2垂直于BA,且BP2=BA,过P2作P2N垂直于y轴,如图所示,同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等,得出P2N与BN的长,由P2为第三象限的点,写出P2的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP3垂直于BA,且BP3=BA,如图所示,过P3作P3H垂直于y轴,同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB,可得出P3H与BH的长,由P3为第四象限的点,写出P3的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.
试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D,
∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,
∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2),
∴OA=CD=1,OB=AD=2,
∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,
∴C的坐标为(3,﹣1);
(2)①∵抛物线y=﹣x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1),
∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣+3a+2,解得:a=,
则抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;
②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,
(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,
则延长CA至点P1使得P1A=CA,得到等腰直角三角形ABP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图所示,
∵AP1=CA,∠MAP1=∠CAD,∠P1MA=∠CDA=90°,
∴△AMP1≌△ADC,
∴AM=AD=2,P1M=CD=1,
∴P1(﹣1,1),经检验点P1在抛物线y=﹣x2+x+2上;
(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP2⊥BA,且使得BP2=AB,
得到等腰直角三角形ABP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图,
同理可证△BP2N≌△ABO,
∴NP2=OB=2,BN=OA=1,
∴P2(﹣2,﹣1),经检验P2(﹣2,﹣1)也在抛物线y=﹣x2+x+2上;
(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP3⊥BA,且使得BP3=AB,
得到等腰直角三角形ABP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图,
同理可证△BP3H≌△BAO,
∴HP3=OB=2,BH=OA=1,
∴P3(2,﹣3),经检验P3(2,﹣3)不在抛物线y=﹣x2+x+2上;
则符合条件的点有P1(﹣1,1),P2(﹣2,﹣1)两点.
考点:1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形.
2.【答案】(1)y=-x2-2
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