全国高中数学竞赛二试模拟训练题（十八）.docVIP

PAGE 1 - 加试模拟训练题（18） 1、圆均与圆外切，切点分别为，并且它们还分别与的两条边相切，证明三线共点。 2、已知，且， 证明： 3、 某个团体有n个成员(n≥5)，并且有n＋1个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员．证明：有两个委员会恰好有一个成员相同． 4．证明：对于任意正整数，数不能被整除。 加试模拟训练题（18） 1、圆均与圆外切，切点分别为，并且它们还分别与的两条边相切，证明三线共点。（20届全俄） 证明 设的内切圆的圆心为，半径为，的半径分别为，则。设为上的一点，且满足，则，从而有在一条直线上。同理与均三点共线，即三线共点。 2、已知，且， 证明： 证明：不妨设，①式等价于 即因 ，只须证明： 即证： ② 因 对于②式，只须证明： ③ 把③左边看作的二次函数，判别式 即证，即证： 即 分解因式可得，此不等式显然成立. 所以③式成立，即原不等式成立. 3、 某个团体有n个成员(n≥5)，并且有n＋1个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员．证明：有两个委员会恰好有一个成员相同． 【题说】 第八届(1979年)美国数学奥林匹克题5． 【证】 用反证法．假设任两个(三人)委员会或者有两个成员相同，或者没有成员相同． 如果委员会A与B有公共成员，那么它们有两个公共成员a、b．如果委员会B又与C有(两个)公共成员，那么a、b中至少有一个属于C，从而C与A也有公共成员．因此可将有相同成员的委员会归为一组．这样同一组中每两个委员会有(两个)相同成员，不同组的委员会没有公共成员． 每一组中委员会的个数k必不超过这组中不同成员的人数h．显然h≥3．当h＝3时，k＝1．当h≥4时，k≥2． 设{x，y，a}、{x，y，b}｝是其中的两个委员会，则其它的委员会只能是{x，a，b}、{y，a，b}或{x，y，d}的形式，这里d至多有h－4种选择，所以k≤4＋(h－4)＝h． 于是委员会的总数n＋1≤人数n，矛盾．这表明，至少有两个委员会恰有一个成员相同． 4．证明：对于任意正整数，数不能被整除。 证明：只需证2（）2（）即可。 因为若是正整数，则； 若是正奇数，则； 故｜；｜，……， ｜ 所以｜2（）。 又因为，所以　2，所以　2（）＋2 即（）2（）命题得证。