常微分方程试卷(A)答案.docVIP

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 1 页 师 范 学 院 成人教育期末考试参考答案 《常微分方程》A卷 （本答案仅供参考，若有多种解法，则按相应标准酌情评分） 一、判断题（8分，每题2分） 1、错； 2、错； 3、对； 4、错 二、选择题（10分，每题2分） 1、A ； 2、 B ；3、A ；4、A ；5、C 三、填空题（12分，每空2分） 1、（1）是方程组的解；（2）线性无关； 2、； 3、； 4、； 5、(其中为任意常数) 四、求下列方程的通解（40分，每题10分） 1、 解：改写方程为: 先求齐次线性方程的通解,分离变量得: 3分 积分得通解为 5分 再利用常数变易法求非齐次线性方程的通解,令,代入得: ,积分得 8分 从而所求通解为(其中为任意常数). 10分 2、 解: 由于，所以原方程是恰当方程--4分 原方程可化为 或 8分 故原方程的通解为，其中为任意常数. 10分 3、 解：原方程化为：（2分） 两边同除以“” 得： 即： (7分) 化简得： （C为任意常数） 故原方程的通解为： （10分） 注：用其他方法解得正确结果给满分。 4、 解：特征方程为，即， 所以特征根为 ， 3分 对应特征向量应满足 可确定出 6分 同样可算出对应的特征向量为 8分 所以，原方程组的通解为 10分 五、计算与证明题（30分，每题10分） 1、解: 3分 6分 10分 2、解：将代入原方程得 即.从而原方程化为, 4分 对应齐次方程的特征值为 ，（二重） 6分 所以原方程的通解为--10分 3、设曲线L位于XOY平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与Y轴总相交，交点记为A，已知且L过点，求L的方程。 解： 设点M的坐标为（x,y）,则切线MA的方程为： （2分） 令，则 ，故点A的坐标为： 由 ， 有 ； 化简后得： （5分） 令， 得 解得： 即 （8分） 又所求曲线在第一象限，所以 将 代入， 得C=3； 所以曲线方程的解为：， （10分）