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2013年APMO(亚太地区数学奥林匹克)试题及其解答
文 武 光 华
2013 年 APMO (亚太地区数学奥林匹克)试题及其解答
解答人:文武光华数学工作室 田开斌
一、如图,AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,O 为△ABC 的外心,求证:OA、OF、
OB、OD、OC、OE将△ABC 分为三对面积相等的三角形。
A
E
F
O
B D C
证明:如图,作 OM⊥AB 于 M,作 ON⊥AC 于 N,则:
· ∠ ∠
= = = ⇒ BF ·OM = CE ·ON⇒ S△ = S△。
· ∠ ∠
同理可证:S△ = S△,S△ = S△。命题得证。
A
E
N
M
F
O
B D C
二、求所有正整数n,使得 是整数。
√
[ ]
解答:设n = m +r,其中m ∈ N ,r ∈ N,且r ≤ 2m,则 n = m。于是
( ) ( )
( )
= = m + 2r − 1 +
√
( ) ( ) ( )
从而有m +2| r − 2 + 1。然而 r − 2 + 1 ≤ max5, 2m −2 + 1 <4m +
( )
( )
5<4 m + 2 ,于是 = 1、2或3。
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