3.4.2基本不等式(第2学时)33.docVIP

PAGE PAGE 1 3．4．2基本不等式（第2课时）33 **学习目标** 1． 进一步理解基本不等式； 2．能用基本不等式求最值。 **要点精讲** 最值定理：若都是正数，且，，则 = 1 \* GB3 ①如果P是定值, 那么当x=y时，S的值有最小值； = 2 \* GB3 ②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值有最大值. 注意： eq \o\ac(○,1)前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； eq \o\ac(○,2)“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； eq \o\ac(○,3)均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 **范例分析** 例1．求下列函数的最值，并说明当取何值时函数取到最值 （1） ； （2）； （3）， （4）。 例2．求函数①；②的最小值。 变式：若不等式恒成立，则正数的取值范围是 。 例3．（1）已知正数a、b满足，求的最大值。 （2）设、、、，， 求证：≤ 例4．（1）若实数，且有，求出的最小值。 （2）已知，且，求的最小值。 变式：（1）已知，，且，求证：。 （2）已知：, 求证：。 规律总结 1．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误. 有时要能“凑”均值不等式的模式。 2．对于函数定义域内不含实数的类型的最值问题，要会用函数的单调性求解． **基础训练** 一、选择题 1．若a1,则a+的最小值是（　　　） A ２ B a C D 3 2．已知，且a + b = 3，则的最小值是( ). A. 6 B. C. D. ５．当x0,y0,且则xy有（　　　） A最大值64 B最小值 C最小值 D最小值64 4．已知正实数满足，则的最大值为（ ） A、 B、 C、 D、 5．若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为（ ） （A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2 二、填空题 6．若x0 , y0 , 且5x+7y=20 , 则xy的最大值为 ; 7．设且则的最小值是 . 6．已知且x+y=4，求的最小值。某学生给出如下解法：由x+y=4得，①，即②，又因为③，由②③得④，即所求最小值为⑤。请指出这位同学错误的原因 ___________________________。 三、解答题 9．（1）如果正数满足，求的取值范围。 （2）已知均为正数，且有，求 的最小值。 10．（1）若有, 求函数的最小值。 （2）时，求函数的最小值 四、能力提高 11．设，则三个数（ ） A、都大于2 B、都小于2 C、至少有一个大于2 D、至少有一个不小于2 12．若、，，求证：。 3．4．2基本不等式（求最值） 例1．（1）因为，所以， 当且仅当，即时，； （2）因为，所以， 当且仅当，即时，； （3）因为，所以， 当且仅当，即时，； （4）因为，所以， 当且仅当，即时，； 例2．解：①令，则； 当，即时，； ②令，则在上单调递增， 当，即时，。 变式：令，则；； 例3．（1）因为，所以 解1： 当且仅当即时取等号，故的最大值为。 解2： ； 解3： 。 （2）因为、、、，，所以 方法1：左 右； 方法2：左 右； 例4．解：（1）因为，所以，解得， 当且仅当时，有最小值； （2）因为，且，所以 方法1：， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为。 方法2：， 当且仅当时，等号成立。 方法3：，得， 由，得，当且仅当时，等号成立。 变式：（1）因为，，所以由已知，， 即，得， 又，得，解得。 （2）因为，令，则 。 **参考答案** 1~5 DBDCD； 5．提示：若且 所以，∴ ，则()≥，选D. 6．；7． ；提示：，所以的最小值是。 8．①③两个不等式中，等号不能同时取到 9．解：（1）方法1：，得； 方法2：由已知， ，当且仅当取等号。 （2），当且仅当取等号。 10．解：（1）令，则，当且仅当取等号。 （2）因为，，当且仅当取等号。 11．D．提示：。 12．证明：因为、，所以， 又，所以， 所以，即。 也可以由函数性质加以说明。