第12章不确定关系-薛定谔方程.pptVIP

* 由此得： 总波函数： 由 和 解得： 定态本征解： 定态能量本征值： 讨论 （1）能量是量子化的: 在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。 （2）零点能:最低的能级是 n=1 能级 对经典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。 若E=0， 则 但势阱中 ，所以E不能为零。 根据不确定关系， （4）根据波函数的物理意义， 为粒子在各处出现的概率密度。 由图，在势阱内概率密度随x改变，且与n有关。但是按经典理论,粒子在各点出现的概率应该是相同的。 0 a n=1 n=2 n=3 E1 E2 E3 x 当 时，量子化--连续 (5) 每一个能量本征态对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波 ， 可见a越大 越小,当a大到宏观尺度时， ,能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。 （3）相邻两个能级之差 (6) 把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的 x 改 为 x -a/2， 就得到新坐标系下的波函数（可能有正负号 的差别，但作为波函数是等价的）： n = 1,3,5,… 时的波函数是偶函数, 这些状态叫做偶宇 称态，n = 2,4,6,… 时的波函数是奇函数，这些态叫做 奇宇称态。 (7)若是已知波函数,可代入 薛定格方程去求解能量。 E O a/2 x -a/2 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 E O a x E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 En ψn |ψn|2 E O a/2 x -a/2 无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 例1：一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于 基态。从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离 内它出现的概率多大？ 解： 基态波函数为: n=1, 粒子从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离内它出现的概率为 半无限深方势阱的势能函数为 定态薛定谔方程, 必需满足标准化条件下，求解薛定谔方程,“自然地” 得到如下图所示量子化的能级、波函数和概率密度。 E O a/2 x U0 U -a/2 §12.7.2 势垒穿透 (Barrier penetration) 量子力学： E E1 E3 E2 -a/2 a/2 x U0 En ψn |ψn|2 0 能量小于U0的粒子，只能在 阱内运动,不可进入其能量小于势能的 的区域，否则动能将为负值。 薛定谔方程给出的解 , 在其势能U0大于总能量E的区域 内虽然逐渐衰减，但仍有一定的值。 讨论：与经典理论不同，微观粒子能进入势能远大于总能量的区域，这可用测不准关系加以说明, 在该区域内，其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。 指数降低 经典理论： 解薛定谔方程，可得如图所示的波函数。可见, 能量低于势垒高度的粒子不仅有可能进入势垒内部，而还有一定的概率穿过势垒，这种现象称为隧道效应。 E ψ(x) U O a x U0 对有限厚度的势垒，粒子的势能函数为 由量子力学可求出，对于 或势垒宽度a较大的情况，穿透系数为 a 越小, U0 越小, 穿透率越高 隧道效应: 隧道电流I与样品和 针尖间距离S的关系 利用扫描隧道显微镜看到的硅表面 （ 7?7 重构图象） 隧道效应已经被实验完全证实。? 粒子从放射性核中放出就是隧道效应的例子，黑洞的量子蒸发、热核反应也是隧道效应的结果。隧道效应的重要应用是扫描隧道显微镜。 原子操纵 1994年初，中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过STM在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的线条。从STM获得的照片上可以清晰地看到由这些线条形成的“100”字样和硅原子晶格整齐排列的背景。 1933年,科罗米等在铜表面用扫描隧道显微镜针尖的操作, 移动48个Fe原子组成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。 单个氙原子(尺度为0.1纳米)已被排列成了一列 吸附在铂单晶表面上的碘原子3×3阵列STM图象 例2: 一质