第一轮复习第十六课---三次函数.docVIP

第十六课-----三次函数 一、定义：形如的函数叫三次函数 二、基本性质： 1.定义域：R 2.值域：R 3.导函数：（） 4.极值： （1）当≤0时，无极值 （2）当0时，方程=0有两根x1x2. 则当a0时，极大值为f(x1),极小值为f(x2) 当a0时，极小值为f(x1),极大值为f(x2) 5.单调性： （1）若≤0： a0时，f(x)为增函数 a0时，f(x)为减函数 （2）若0 a0时，增区间为(-∞,x1),(x2,+∞),减区间为(x1,x2) a0时，减区间为(-∞,x1),(x2,+∞),增区间为(x1,x2) 6.奇偶性：当b=d=0时，f(x)为奇函数，其余均为非奇非偶函数 7.对称中心：M 8.图像： 9.解析式（1）一般式： （2）零点式：已知三次函数的图象与轴的三个交点的横坐标，则 （3）降次式：已知函数图象与轴的一个交点的横坐标，则 （4）中心式：已知函数的对称中心为，则 10.一般地，过三次函数图像上的一点能作曲线的两条切线. 特殊情况是：过点M只能作曲线的一条切线L，且L在点M处穿过曲线. 11.函数的零点的个数：至少有一个 (1)一个：①≤0，②a0,f(x1)0;③a0,f(x2)0;④a0,f(x1)0 ⑤a0,f(x2)0 (2)二个：0,f(x1)=0或f(x2)=0 (3)三个：0, f(x1)f(x2)0 12.三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是. 三、练习题 1.已知函数的图象上存在极值点，则的取值范围是 2.函数的极值点个数为 3.已知函数（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，求函数的图象与直线的交点个数. 4.已知在（－，0）上是增函数，在(0，2)上是减函数，且方程有三个根，它们分别为.（1）求c的值.（2）求证：（3）求|α－β|的取值范围. 5.设函数， ，且，若是函数的一个极值点，试比较与的大小。 6.已知函数f(x)= ，其中，设f(x)在及处取得极值，其中。(1)求证：（2）若 ，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直。 7.已知，函数的图象与函数的图象相切。 （1）求b与c的关系式（用c表示b）；（2）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。 8.已知函数,其中(1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围. 9.设函数（1）当曲线处的切线斜率（2）求函数的单调区间与极值； （3）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。 10.已知函数在区间内各有一个极值点.（1）求的最大值； （2）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式. 1.已知函数的图象上存在极值点，则的取值范围是 解析：由与的图象的关系知，的图象上存在极值点对应着的判别式，从而解得：. 2.函数的极值点个数为（ ） A、2个 B、1个 C、0个 D、不确定 解析：因为的判别式，由与的图象的关系知，无零点，故选C. 3.已知函数（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，求函数的图象与直线的交点个数. 解析：（Ⅰ） 的递减区间为 （Ⅱ）由得： 的图象与直线的交点个数问题化归为方程（*）解的个数问题. 令，则 ①当时，，此时与X轴只有一个交点. ②当时, ； 极大值为， 极小值为 ③当时, ； 极大值为， 极小值为 综上所述：当时，的图象与直线只有一个交点；当时，的图象与直线有三个不同交点. 4.已知在（－，0）上是增函数，在(0，2)上是减函数，且方程有三个根，它们分别为.（1）求c的值.（2）求证：（3）求|α－β|的取值范围. 解：（1） ∴ 令， ∵在(－∞,0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴ 又∵ （3）∵方程有3个根α、2、β， ∴设 比较系数得： ，∴α、β为方程的两根， ∴α+β=,αβ= ∴ ∵，∴ ∴. 5.设函数， ，且，若是函数的一个极值点，试比较与的大小。 解：∵， ∴，又，∴ ∴ ∴当时，，即是增函数； 当时，，即是减函数。 ∵是的一个极值点， ∴ 即 ∴， 故。 注：为三次函数，要比较与的大小 ，先利用消去一个参数，利用导数求出的单调区间，然后根据相关条件确定这两点所在的单调区间。并且利用了，得到在的单调递减区间内，即，这一点因为用得不多，学生不易想到。学生更多想到的是利用方程求得，从而得到。 6.已知函数f(x)= ，其中，设f(x)在及处取得极值，其中。(1)求证：（2）若 ，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能