高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题(含答案)---副本.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 1 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,， （Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：. 解: (Ⅰ)由 Sn= eq \f(4,3)an－ eq \f(1,3)×2n+1+ eq \f(2,3), n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= eq \f(4,3)a1－ eq \f(1,3)×4+ eq \f(2,3) 所以a1=2 再由①有 Sn－1= eq \f(4,3)an－1－ eq \f(1,3)×2n+ eq \f(2,3), n=2,3，4,… 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= eq \f(4,3)(an－an－1)－ eq \f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3, … 整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= eq \f(4,3)×(4n－2n)－ eq \f(1,3)×2n+1 + eq \f(2,3) = eq \f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2) = eq \f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1) Tn= eq \f(2n,Sn) = eq \f(3,2)× eq \f(2n, (2n+1－1)(2n－1)) = eq \f(3,2)×( eq \f(1,2n－1) － eq \f(1,2n+1－1)) 所以, = eq \f(3,2) eq \f(1,2i－1) － eq \f(1,2i+1－1)) = eq \f(3,2)×( eq \f(1,21－1) － ) eq \f(3,2) 二．先放缩再求和 1．放缩后成等比数列，再求和 例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列． 设，数列前项的和为，证明：． 解：∵，，，∴公比． ∴． ． （利用等比数列前n项和的模拟公式猜想） ∴． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列滿足，证明：数列是等差数列； （Ⅲ）证明：. （I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列 即　 （II）证法一： 　　　　　　　　　　　　　① 　　　　　　② ②－①，得 即 　 ③－④，得　 即　是等差数列 （III）证明： 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以， 即，即．所以数列为递增数列，所以， 即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 3．放缩后成等差数列，再求和 例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2) 求证： 解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以， ， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 练习： 1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，. (Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式； （Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之. 解：(Ⅰ) （利用函数值域夹逼性）；（II）； （Ⅲ）∵，∴ 2.（04全国）已知数列的前项和满足：， （1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式； （3）证明：对任意的整数，有 分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：（n1） 化简得： , 故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列. 故 ∴ ∴数列{}的通项公式为：. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：， ，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，