数学-几何论证题中辅助线的添加方法.docVIP

PAGE PAGE 1 中考数学复习专题 ——几何论证题中辅助线的添加方法 例1： 如图：等腰梯形ADBC 中AB∥CD，底角∠ABC=450 对角线AC、BD交于点O，且∠BOC=1200 求：的值 分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 ∠BOC=1200 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D（或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求的比值。 证明：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E AD∥BC AD=CF AC∥DF AC=DF 等腰梯形ABCD DB=AC BD=DF AC∥DF∠BDF=∠BOC=1200 DE⊥BF ∠BDE=600 BE=EF BE=EF= ∠BED=900 设 DE⊥BC ∠BCD=450 EF= . 例2： 如图：已知直线PQ是线段AB的中垂线， C是OQ上的任意一点，若OD⊥BC 是 于D，M是OD的中点 求证：CM⊥AD 分析：在已知条件中，PQ是线段AB的中垂线，同学们肯定想到连结AC运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM⊥AD，从图中观察到如能证得∠1=∠A?，那么CM⊥AD即可成立；而∠A?除了在Rt△AON中，它还在△AOD中，若把∠1也放到与△AOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与△AOD相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M是OD的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC的中点为G，想法证明△AOD∽ △CGM。通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM。因此证：是本题又一关键。 证明：取OC的中点为G，连GM, ∵PQ是AB的中垂线, ∴∠BOC=900设OA=OB=a，OD=b . ∵OD⊥BC, ∴∠CDO=∠ODB=900 ∵∠4+∠3=900，∠3+∠B=900 . ∴∠4=∠B，△COD∽△OBD . ∴，G、M为OC、OD的中点. ∴OC=2CG，CD=2GM.. ∴，△AOD∽△CGM . ∴∠1=∠A. ∵∠A+∠ANO=900 ∴∠1+∠CNH=900 即∠NHC=900，CM⊥AD. 例3：如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点， AF和DE交于点P 求证：CP=CD 图（1） 图（2） 分析：要证明CP=CD，因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证： 思路（1）：只要证对角相等，即证∠1=∠2。如图（1）分别寻找∠1、∠2的等量，∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠2=∠AEP，∠1=？，延长CP交AB于G，∴∠1=∠EPG。要证∠1、∠2只要证∠AEP=EPG，由已知可知，E、F为AB、BC的中点可证：△AED≌△BFA，可得AF⊥DE，P为垂足。假设∠AEP=∠EPG，G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得，设PE为a，PA为2a，PD为4a，因为AE∥CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得G为AE的中点，PG是AE的中线，∠AEP=∠EPG成立。从分析的过程中得到思路（2）， 思路（3）：要证