2012-2013年第4届全国大学生数学竞赛各赛区预赛及决赛试题和答案(非数学类数学类).pdfVIP

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2012-2013年第4届全国大学生数学竞赛各赛区预赛及决赛试题和答案(非数学类

第四届全国大学生数学竞赛预赛试题 (非数学类)参考答案及评分标准 一、(本题共5 小题,每小题各6 分,共30 分)解答下列各题(要求写出重要步骤). 1 2 (1) 求极限lim(n!)n ; n→∞ 2x +y −3z +2 0 ⎧ (2) 求通过直线L : ⎨ 的两个相互垂直的平面π 和π ,使其中一个平面过点 1 2 5x +5y −4z +3 0 ⎩ (4, −3,1) ; 2 ∂ u ax+by 0, a b (3) 已知函数z u (x, y )e ,且 确定常数 和 ,使函数z z (x , y ) 满足方程 x y ∂∂ 2 ∂ z ∂z ∂z − − +z 0 ; ∂∂x y ∂x ∂y (4) 设函数u u(x) 连续可微, u(2) 1 , 且∫(x +2y )udx +(x +u 3 )udy 在右半平面上与路径无关, L 求u(x) ; x +1 sin t (5) 求极限 lim 3 x ∫x dt . x →+∞ t +cos t 解 1 1 2 2 ln(n!) (1) 因为 (n!)n en …………………………………… (1 分) 1 1 ⎛ln1 ln 2 lnn ⎞ ln n 而 2 ln(n!) ≤ ⎜ + ++ ⎟,且 lim 0 ……………………… (3 分) n n ⎝ 1 2 n ⎠ n→∞ n 1 ⎛ln1 ln 2 lnn ⎞ 所以 lim 0 , ⎜ + + + ⎟ n→∞ n ⎝ 1 2 n ⎠ 1 1 2 即 lim 2 ln(n!) 0 , 故 lim(n!)n =1 …………………………………… (2 分) n→∞ n n→∞ (2 )过直线L 的平面束为

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