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2012-2013年第4届全国大学生数学竞赛各赛区预赛及决赛试题和答案(非数学类
第四届全国大学生数学竞赛预赛试题
(非数学类)参考答案及评分标准
一、(本题共5 小题,每小题各6 分,共30 分)解答下列各题(要求写出重要步骤).
1
2
(1) 求极限lim(n!)n ;
n→∞
2x +y −3z +2 0
⎧
(2) 求通过直线L : ⎨ 的两个相互垂直的平面π 和π ,使其中一个平面过点
1 2
5x +5y −4z +3 0
⎩
(4, −3,1) ;
2
∂ u
ax+by 0, a b
(3) 已知函数z u (x, y )e ,且 确定常数 和 ,使函数z z (x , y ) 满足方程
x y
∂∂
2
∂ z ∂z ∂z
− − +z 0 ;
∂∂x y ∂x ∂y
(4) 设函数u u(x) 连续可微, u(2) 1 , 且∫(x +2y )udx +(x +u 3 )udy 在右半平面上与路径无关,
L
求u(x)
;
x +1 sin t
(5) 求极限 lim 3 x ∫x dt .
x →+∞ t +cos t
解
1 1
2 2 ln(n!)
(1) 因为 (n!)n en …………………………………… (1 分)
1 1 ⎛ln1 ln 2 lnn ⎞ ln n
而 2 ln(n!) ≤ ⎜ + ++ ⎟,且 lim 0 ……………………… (3 分)
n n ⎝ 1 2 n ⎠ n→∞ n
1 ⎛ln1 ln 2 lnn ⎞
所以 lim 0 ,
⎜ + + + ⎟
n→∞ n ⎝ 1 2 n ⎠
1
1 2
即 lim 2 ln(n!) 0 , 故 lim(n!)n =1 …………………………………… (2 分)
n→∞ n n→∞
(2 )过直线L 的平面束为
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