两个随机变量的函数的分布-（一）.pptVIP

一、问题的引入 三、连续型随机变量函数的分布 3.极值分布 它们的概率密度函数分别为 例2 书上 四、小结 若随机变量（X,Y)的概率密度为p(x,y)，则 (4) Z=X－Y的概率密度为 本 节 结 束 备份题 二、离散型随机变量函数的分布 例1 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密 度分别为 其它. 其它. 求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度. 由于 X 与Y 相互独立,所以 ( X,Y ) 的分布密度函数为 解 随机变量 Z 的分布函数为 所以随机变量 Z 的分布密度为 解 例2 解 例3 此时 例9 解 　　为了解决类似的问题,下面 我们讨论两个随机变量函数的分布. 例1 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 二、离散型随机变量函数的分布 可得 所以 结论 1. Z=X+Y 的分布 由此可得概率密度函数为 由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时, 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 得 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布. 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例6 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示: 也即 于是 同理可得 故有 当 X, Y 独立时, 由此可得分布密度为 解 由公式 例7 得所求密度函数 得 则有 故有 推广 若 X与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为p(x), 则M与N的分布密度为 上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量 相互独立同分布,令 则它们的分布函数分别为 例1* 设X,Y独立同分布,P{X=i}=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律. 解 从而M的分布律为 类似可得N的分布率为 1/9 1/3 5/9 P 3 2 1 N 5/9 1/3 1/9 P 3 2 1 M 从而M的分布律为 1. 离散型随机变量函数的分布律 2. 连续型随机变量函数的分布 （5）Z=kx+Y,(k0)的概率密度为 （6）Z=XY的概率密度为